Bonjour,
Voici mon problème:
Soient :
-E un K-ev
-p,q deux projecteurs de E
Montrer que p-q <=> Im(p) inclus dans Im(p) et Ker'(p) inclus dans Ker(q)
j'ai montré l'implication dans le sens direct en montrant préalablement que p-q est un projecteur si et seulement si poq=qop=q
cependant le sens indirect me pose probleme je ne vois pas comment exploiter les hypothèses pour arriver au resultat souhaiter.
Auriez vous des pistes ?
Merci
s'il vous plait je ne comprends vraiment pas
Quand vous dîtes :
Montrer que p-q <=> Im(p) inclus dans Im(p) et Ker'(p) inclus dans Ker(q)
Il ne manque pas un mot, que signifiez-vous par p-q seul ?
j'ai en effet oublié "est un projecteur,
il s'agit donc de Montrer que:
p-q est un projecteur <=> Im(p) inclus dans Im(p) et Ker'(p) inclus dans Ker(q)
petit soucis là, non ?Envoyé par jackgre
oui en effet, c'est Im q inclus dans Im p, décidement... Pardon
merci
Bonsoir,
Pour le sens " <= ", pour tout x dans E, on peut l' écrire x=y+z avec y dans ker(p) et z dans Im(p) ou encore x=l+m avec l dans ker(q) et m dans Im(q). Puis tu peux développer (p-q)²(x) en utilisant la décomposition de x qui t' arranges à chaque fois !
Pour l' autre sens, c' est essentiellement des jeux d' écriture: tu te donnes un x dans Im(q), et alors tu sais que q(x)=x du coup pq(x)=p(x) .... ( il faut utiliser le fait que (p-q)²=p²-pq-qp+q² et que p²=p, q²=q)
Pour ker(p) c ker(q), tu peux montrer que si x est dans ker(p), alors qp(x)=qp(x)=0 ( avec l' égalite 2q=pq + qp)
Bonne chance !
Je ne sais comment vous remercier, j'avais oublié de demander a ma professeur . Merci beaucoup j'y suis arrivé
