Rang d'une famille de vecteurs

[invite5990341e]

Bonsoir, j'aurai besoin d'aide pour cet exercice s'il vous plaît:


Le rang d'une famille de vecteurs est par définition la dimension de l'espace engendré par ces vecteurs. Calculer le rang de :

V'={v1=(1,1,m), v2=(1,m,1), v3=(m,1,1)}, m appartenant aux réels

Ma réponse: Les vecteurs sont non nuls, donc 1 <= rgV' <= 3.
Je ne sais pas comment m'y prendre par la suite, j'aimerai prouver que ces vecteurs forment une famille libre ou lié mais je ne sais pas comment m'y prendre étant donné qu'il y a un inconnu.

Merci d'avance.
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[CARAC8B10]

Cette famille de vecteurs dépend d'un paramètre m
On te demande donc de discuter du rang de cette famille selon la valeur de m.
Un petit calcul de déterminant ne ferait pas de mal à l'affaire ...

[invite5990341e]

J'ai trouvé que si m=1: rg=1 car colinéarité.
Si m=2, rg=2 car la famille de vecteurs est liée en revanche je ne vois pas trop comment montrer cela sur papier.
Sinon rg=3.

[invite6710ed20]

Il faut savoir justifier. Les rg sont corrects mais les justifications???
voici (en abrégé ou style télégraphique.)



On désigne par F=vect<v_1,v_2,v_3>. Par def. rg(v_1,v_2,v_3)=dim(F)


pour m=1. Les 3 vecteurs sont identiques donc F=vect<v_1> , v_1 non nul, dc rg=1.

pour m\neq 1 et -2 , det( v_1,v_2,v_3)\neq 0, les 3 vecteurs sont indépendants donc rg=3.

pour m=2 det( v_1,v_2,v_3)=0, le rg ne peut être que 1 ou 2. Ce n'est pas 1 car v_1 et v_2 ne sont pas col. , dc le rg est 2.


Bien entendu il y a plusieurs façon de répondre mais le principal, c'est de justifier correctment à partir des ses connaissances.

[A voir en vidéo sur Futura]

[CARAC8B10]

Le déterminant est
Pour m=-2, les valeurs propres sont 0,-3,3
la famille est de rang 2

[invite6710ed20]

Je ne pense pas qu'il faille parler de valeurs propres ici. D'ailleurs les valeurs propres de quelle matrice?
De plus c'est inutile d'utiliser un bazooka pour tuer une mouche.

[invite5990341e]

Qu'elle est la définition du déterminant pour det(v1,v2,v3) ?

[invite6710ed20]

Là on se trouve à une difficulté qui est que vous posez une question et donc de l'aide sans que nous (les aidants) on sache ce que vous avez vu en cours.
Si vous n'avez pas vu les déterminants (ce qui est possible) on ne peut pas vous l'expliquez comme cela en 2 mots.
Dans ce cas pour montrer que vos 3 vecteurs (v_1,v_3, v_i) [v_i à déterminer], vous le faites avec la définition de l'indépendance quevous avez vu en cours.
Laisser tomber pour l'instant la notion de déterminant