Bonsoir, j'aurai besoin d'aide pour un exercice svp :
Soit
S :={ (1,0,1), (2,0,2), (1,2,-1), (0,2,-2), (0,2,-2), (-1,1,3), (-2,3,-1)}.
Montrer que S est une partie génératrice de R3 et extraire une base.
Je ne comprend pas comment montrer que S soit une partie génératrice de R3. Faut-il montrer que la dimension est de 3?
Il faut montrer que tout vecteur de R^3 s'écrit sous la forme d'une combinaison linéaire des éléments de S. Cela revient à résoudre un système linéaire.
Je prend pour tout vecteur (x,y,z) appartenant à R^3 et je résouds le système :
x+z=0
2x+2z=0
x+2y-z=0
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.
.
? Si je trouve un x,y et z alors S est partie génératrice de R^3?
Bonjour, Non ce n'est pas de ce système qu'il s'agit. Je n'ai pas le temps de développer l'idée de minushabens.
Faisons autrement. vous avez 7 vecteurs d'un espace de dimension 3. Il y a 2 questions, mais la réponse à la deuxième question implique la première.
Il faut donc trouver 3 vecteurs indépendants. Pour simplifier je les appellent v_1 v_2,...
Je choisis v_1 qui est non nul. j'élimine v_2 qui est visiblement lié à v_1. Je choisis v_3 qui est visiblement non lié à v_1. J'ai déjà 2 vecteurs indépendants (v_1,v_3).
Et on continue pour trouver le troisième vecteurs v_i tel que (v_1,v_2,v_i) soient indépendants.
D'accord donc (v1,v2,vi) serait une base de S. Et le fait de trouver cette base prouve que S est partie génératrice de R^3 ?
Math3 :
"Et le fait de trouver cette base prouve que S est partie génératrice de R^3 ? "
Tu devrais apprendre ton cours, il y es probablement dit que toute partie contenant une partie génératrice est génératrice (conséquence immédiate de la définition), et il y a la définition d'une base.
Cordialement.
Je trouve que v2 est lié à v1 car (v2-2v1)=(0,0,0) ensuite que v4 est lié à v1 car (v4-v3+v1)=(0,0,0).
Je trouve que v3 et v5 ne sont pas liés à v1 donc que (v1,v3,v5) sont indépendants. S contient une partie génératrice elle est donc génératrice de R^3.
De plus, on peut dire que (v1,v3,v5) est une base de S étant donné que chaque vecteur peuvent être exprimé de manière unique comme combinaison linéaire de vecteurs de cette base.
Oui, c'est cela sinon qu'il faut que tu expliques comment tu trouve que les 3 vecteurs sont indépendants.
Oui j'ai développer au brouillon.
Merci beaucoup ! Bonne journée à vous .
pour ton érudition, voici comment fonctionne la méthode bête qui suit la définition. S est génératrice ssi pour tout u de R^3 il existe des coefficients ai tels que u=somme des ai*si où les si sont les éléments de S. Tu écris u=(x,y,z) et tu as donc 3 équations (une pour chaque coordonnée) en les 7 inconnues ai.
