Partie Libre et Génératrice (Algèbre Linéaire)

[inviteb3fc0e78]

Bonjour à tous,

Je suis nouveau sur le forum et aurais une question concernant les parties libres et génératrices.
Je voulais savoir si quelqu'un pouvait me donner un exemple de partie libre non-génératrice dans
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[invite9dc7b526]

il me semble que la partie vide est toujours libre mais jamais génératrice.

[inviteb3fc0e78]

je vais peut-être préciser la question.

Dans Existe-t-il une Partie Libre non-génératrice de 8 vecteur ? Si non Pourquoi.

[Resartus]

On peut trouver une famille libre à 7 vecteurs non génératrice, mais le sous espace engendré par la partie libre à 8 vecteurs est de dimension 8, et est donc l'espace complet, puisque C4 est de dimension 8 sur R.

(Plus généralement, tous les espaces vectoriels de même dimension finie sur le même corps sont isomorphes)

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb3fc0e78]

Pour reprendre Mediat,

Je suppose que ce sont 8 vecteurs nul que tu proposes. Mais n'y aurait-il pas un probleme puisque une partie libre se doit d'être linéairement indépendante et que le vecteur nul est combili de tous vecteurs.

Pour poursuivre, merci Resartus, c'était la réponse que je cherchais. En effet, si je ne me trompe pas la seul partie libre possédant 8 vecteur est la base de . Indiquée comme suit

X = {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0) ,(0,0,0,1),(i,0,0,0),(0,i,0,0) ,(0,0,i,0),(0,0,0,i)} où X est une partie de

Est-ce bien cela ?

[inviteb3fc0e78]

Oups le message de Mediat a disparu,

Il avait mis {0,0,0,0,0,0,0,0} comme réponse.

[Médiat]

Oups le message de Mediat a disparu,

Il avait mis {0,0,0,0,0,0,0,0} comme réponse.

J'avais lu trop vite et répondu comme s'il s'agissait d'une famille liée, c'était donc une énorme bêtise ; je m'en suis aperçu en appuyant sur le bouton "Envoyer" je l'ai donc détruit immédiatement, pensant que personne ne l'avait lu.

[Resartus]

Pour répondre à Nine 0 : Il y a des infinités de familles libres à 8 vecteurs. Celle que tu écris est commode, mais une démarrant par exemple avec : 1,1,...., 1,-1,... marcherait tout aussi bien. On pourrait aussi terminer par 1,1,1,1,1,1,1,1 au lieu de 0,0,0,0,0,0,0,1. etc.

On peut savoir si une famille est libre par un calcul matriciel (déterminant de la matrice différent de zero) que vous ne devriez pas tarder à étudier, si ce n'est pas déjà le cas....