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espace vectoriel



  1. #1
    Keisersoze

    espace vectoriel


    ------

    bonjour
    aujourd'hui on a parlé de familles de sous espaces vectoriels. mais on a pas défini la chose. c'est quoi comme objet mathématique? un ensemble de sous espaces vectoriels?

    -----

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  3. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : espace vectoriel

    Bonjour.

    La notion de famille généralise la notion de suite. Une suite finie est indicée par une partie [0;n] De N, une suite infinie indicée par N, une famille est indicée par un ensemble quelconque.

    Cordialement.

  4. #3
    redrum13

    Re : espace vectoriel

    Une famille de vecteurs v1, v2, ..., vn est une combinaison de ces vecteurs.

    L'ordre n'a pas d'importance.

    la famille (v1,v2,v3) est équivalente à la famille (v3,v2,v1) et à toutes ses 6 permutations possibles.

    On parle ensuite de combinaison linéaire à partir d'une famille de vecteurs, pour engendrer un espace vectoriel.

    Si je prends deux vecteurs sur R2 soient v1=(1,0) et v2=(0,1) alors toute CL de ces vecteurs engendre R2

  5. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : espace vectoriel

    Désolé, Redrum,

    mais une famille n'est pas ce que tu dis. Une combinaison est un ensemble, une famille non.
    De façon très mathématique, une famille d'éléments d'un ensemble E est une application d'un ensemble I (les indices) dans E. Traditionnellement, l'image de l'indice i est notée ei, est est un élément de E. Si I est un ensemble ordonné, on a alors un ordre sur les ei, image de celui de I. Et pour I fini, on emploie la notation suite, ou p-uplet : (O,I,J); (1,2,5,1,9,5,).
    la famille (v1,v2,v3) n'est pas la famille (v3,v2,v1), pas d'équivalence, seulement les mêmes éléments. C'est très important pour les bases des espaces vectoriels, car les coordonnées des vecteurs dépendent de l'ordre des vecteurs de base.

    Cordialement.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    redrum13

    Re : espace vectoriel

    Sio je vous donne la base (e1, e2, e3) ou la base (e2, e3, e1) qu'est- ce que ça change?

  8. #6
    redrum13

    Re : espace vectoriel

    Edit: effectivement pour les coordonnées l'ordre compte dans une base, mais c'est une convention de lecture.

    Toutes les CL d'une famille prise dans n'importe quel ordre sont équivalentes les unes aux autres:

    Vec(v1,v2,v3) = Vec(v2,v3,v1) etc... pour les 6 permutations possibles = le même ev.

    Cependant je suis d'accord que l'élément (1,2,3) dans la base (v1,v2,v3) n'est pas le même que (1,2,3) dans la base (v2,v1,v3). D'où l'importance de fixer un ordre de lecture.

    On élimine ainsi les équivalences qui correspondent aux permutations des vecteurs d'une même famille.

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  10. #7
    redrum13

    Re : espace vectoriel

    Enfin dès lors qu'on parle de coordonnées il convient d'introduire un ordre de lecture. Dans l'absolu on pourrait s'en passer, mais ça simplifie les choses.

    Même si associer un lambda i au vecteur i de la base suffit, ça laisse toutes les permutations possibles équivalentes.

    Bon mais les mathématiciens sont des gens ordonnés et n'aiment pas le fouillis, alors je comprends maintenant pourquoi l'ordre est important.

  11. #8
    slivoc

    Re : espace vectoriel

    Salut !

    Bon, alors peut etre que je vais dire une énorme bêtise ( On vient de voir les actions de groupes en cours), mais regarder tes vecteurs d' un K-ev E de dimension finie à permutation des coordonnées près ou les regarder à coordonnées fixées ce n' est pas la même chose. En fait dans le premier cas ça revient à se donner une action de Sn sur E, qui à une permutation et un vecteur associe le vecteur avec les coordonnées permutées, et en fait regarder " à permutation pres " reviendrai à regarder l' espace quotient E/Orb où x Orb y ssi x est dans l' orbite de y ( x et y sont les "mêmes" vecteurs à permutation des coordonées près). Et à priori la loi + de E n' induit pas une loi + sur E/Orb: par exemple dans R², en fixant une base: (1,2)+(2,3)=(3,5), alors que (2,1)+(2,3)=(4,4) alors que (1,2) et (2,1) sont équivalents. Donc à priori les 2 espaces ne sont pas vraiment les mêmes, même topologiquement ça ne colle pas vraiment à cause de la connexité de E/Orb.
    En espérant ne pas avoir dit trop de betises,
    Bonne journée !

  12. #9
    redrum13

    Re : espace vectoriel

    Non, dans ton addition de deux vecteurs, il faut permuter toutes les coordonnées, et on retombe sur nos pieds.

    sur la base (e1,e2): (1,2)+(2,3)=(3,5)
    Mais sur la base (e2,e1) ça devient: (2,1)+(3,2)=(5,3)

    CQFD

  13. #10
    Tryss2

    Re : espace vectoriel

    Un bon exemple de pourquoi l'ordre est "important".

    Prend la matrice M :



    Si la base fixe l'ordre des vecteurs qui la composent, cette matrice M représente une unique application linéaire dans la base B. Si la base ne fixe pas l'ordre des vecteurs, il existe deux applications linéaires qui sont représentées par cette matrice.... C'est pas très pratique.

  14. #11
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : espace vectoriel

    Dans les bons cours d'algèbre linéaire, on définit les notions de famille et de base. Et l'ordre des vecteurs d'une base, ou leur indexage pour les espaces vectoriels de dimension infinie, font partie de la définition de la base.

    Comme tu l'écris clairement dans ton message #9, Redrum13, l'ordre de la base est important puisque tu as changé l'ordre des coordonnée. Mais si tu veux faire des mathématiques à ta façon, donner les définitions que tu veux tout seul, c'est ton choix. Simplement ne donne pas de conseils à ceux qui veulent savoir quelles sont les mathématiques des mathématiciens (et de l'enseignement). Et si tu veux faire des mathématiques avec les autres, va voir les définitions des mots que tu emploies. par exemple famille sur Wikipédia ou sur un cours de licence ou prépa.

    Cordialement.

  15. #12
    minushabens

    Re : espace vectoriel

    Citation Envoyé par redrum13 Voir le message
    Sio je vous donne la base (e1, e2, e3) ou la base (e2, e3, e1) qu'est- ce que ça change?
    ne pas faire la différence revient à confondre une rotation d'angle 2pi/3 avec l'identité.

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  17. #13
    redrum13

    Re : espace vectoriel

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Dans les bons cours d'algèbre linéaire, on définit les notions de famille et de base. Et l'ordre des vecteurs d'une base, ou leur indexage pour les espaces vectoriels de dimension infinie, font partie de la définition de la base.

    Comme tu l'écris clairement dans ton message #9, Redrum13, l'ordre de la base est important puisque tu as changé l'ordre des coordonnée. Mais si tu veux faire des mathématiques à ta façon, donner les définitions que tu veux tout seul, c'est ton choix. Simplement ne donne pas de conseils à ceux qui veulent savoir quelles sont les mathématiques des mathématiciens (et de l'enseignement). Et si tu veux faire des mathématiques avec les autres, va voir les définitions des mots que tu emploies. par exemple famille sur Wikipédia ou sur un cours de licence ou prépa.

    Cordialement.
    gnagnagnah les mathématiques ça n'est pas qu'un ensemble de règles gravées dans le marbre, et les règles sont faites pour faciliter la vie des gens, pas les empoisonner, et en aucun cas ça ne doit être un objet de pouvoir ou de réprimande.

    Et si on en discute sur les forums, c'est que les cours ne sont pas toujours très clairs.

    Enfin, si tout le monde savait tout sur le bout des doigts il n'y aurait pas de forum, pas d'animation.

    J'ai juste envie de faire des mathématiques pour moi, et critiquer des points obscurs qui peuvent paraitre évidents pour un professionnel de la matière fait partie de ma démarche.

  18. #14
    Tryss2

    Re : espace vectoriel

    En mathématiques, les règles sont absolues.

    Elles ne sont pas la pour faciliter la vie des gens... A partir du moment ou tu ne respectes pas les règles, même à peine, tu ne fais plus de mathématiques.

  19. #15
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : espace vectoriel

    "Et si on en discute sur les forums, c'est que les cours ne sont pas toujours très clairs."
    Toi seul discutes ici de la définition de famille ! Peut-être parce que tes cours ne sont pas clairs, mais alors va lire des cours sérieux. Prends par exemple un Ramis-Oddoux-Deschamps à la BU; ou si tu préfères un auteur anglo-saxon, le classique Lang qui fait autorité depuis 50 ans; ou lis Bourbaki.
    En tout cas, si tu décides seul des règles que tu veux, tu te mets hors jeu !

    "Enfin, si tout le monde savait tout sur le bout des doigts il n'y aurait pas de forum, pas d'animation." Oh que si ! Je connais des forums où tout le monde sait les règles "sur le bout des doigts" et cherchent à comprendre comment s'en servir face à des questions difficiles. C'est parfois le cas ici.
    "critiquer des points obscurs" ?? Ici, il n'y a rien d'obscur, ni la définition d'une famille, ni celle d'une base. N'appelle pas "point obscur" les notions dont tu ne t'es pas donné la peine de les comprendre.

    Cordialement.

    NB : J'ai appris seul (dans des bouquins) une grande partie des maths, dont justement la plus grande partie de l'algèbre linéaire.

    "les règles sont faites pour faciliter la vie des gens" Oui, ceux qui les connaissent, pas ceux qui les imaginent sans savoir.
    "pas les empoisonner" ?? Les règles des maths ne m'ont jamais empoisonné, mais comme toute règle, elles brident les possibilités. Toi, ça t'empoisonne, simplement parce que tu n'avais pas compris au départ et que depuis tu cherches à faire croire que non !

  20. #16
    redrum13

    Re : espace vectoriel

    Ho gg0 tu n'es surement pas arrivé à ton niveau actuel sans comprendre de travers...

    Et tu as galéré comme les autres.

    Les notions de bases sont souvent mal expliquées, voire pas du tout dans un cours.

    Ensemble, élément, n-uplet, famille, tribu, espace, espace vectoriel, dans chaque cours manipulant ces objets un rappel devrait exister, avec des exemples et des contre-exemples pour bien fixer les idées.

  21. #17
    redrum13

    Re : espace vectoriel

    Distributions, fonction presque partout continue, combinaison, arrangement, base canonique etc... ces termes sont souvent employés de manière implicite, alors que le sens évoqué est trop souvent trompeur.

    Mais j'imagine qu'il existe de très bons livres expliquant tout ça.

    Je préfère les cours sur le Web et Wikipedia.

  22. #18
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : espace vectoriel

    J'ai fait des erreurs, comme tout le monde, mais je n'ai pas employé des notions floues dont je devinais vaguement le sens. Je suis allé chercher les définitions. Et il n'y avait pas Internet, à l'époque.
    Tu serais allé lire sur wikipédia la définition de famille, tu aurais évité de raconter des bêtises. Le fait que tu continues maintenant ne rend pas hommage à ton intelligence ! Dommage.
    Et fin pour moi de la discussion, tu t'es assez ridiculisé.

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  24. #19
    Tryss2

    Re : espace vectoriel

    Citation Envoyé par redrum13 Voir le message
    Ensemble, élément, n-uplet, famille, tribu, espace, espace vectoriel, dans chaque cours manipulant ces objets un rappel devrait exister, avec des exemples et des contre-exemples pour bien fixer les idées.
    Je propose aussi de rappeler la définition des nombres entiers dans chaque cours manipulant ces objets...

    Pratiquement tout les cours de maths ont des prérequis. On ne va pas refaire l'intégralité des cours nécessaires pour comprendre un cours à chaque fois.

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