Cercles : comment démontrer que le rapport de la circonférence au diamètre est constant ?

[gg0]

"Est-ce parce que c'est finalement trop évident qu'Euclide et Archimède ne se sont pas donné la peine de le démontrer ? "
D'où tiens-tu ça ???
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[andretou]

"Est-ce parce que c'est finalement trop évident qu'Euclide et Archimède ne se sont pas donné la peine de le démontrer ? "
D'où tiens-tu ça ???

Je n'ai pas trouvé une telle démonstration ni dans les Éléments, ni dans la Méthode.

[invite9dc7b526]

regarde la proposition XII.2 d'Euclide.

[andretou]

Merci pour ta précision. En effet Euclide y démontre que "les (surfaces des) cercles sont entre eux comme le carré du diamètre".
Mais étonnamment il n'a pas éprouvé le besoin de démontrer au préalable que la circonférence du cercle est proportionnelle à son diamètre...

[Amanuensis]

Bizarre cette discussion...

Il y a deux questions très distinctes qui sont traitées. La première concerne la validité de la question, la seconde la réponse à la question.

Commençons par la réponse à la question, le seul message qui réponde sur le fond est :

Par contre je me demandais si on pouvait faire quelque-chose de très simple à partir des homothéties.
Sachant qu'on a peut-être affaire à quelque-chose de plus fondamental (ou pas, et c'est un peu mon interrogation) :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Homoth%C3%A9tie

Et bien sûr, l'homothétie conserve les rapports entre les longueurs des segments des figures.

Sachant que le but de la démonstration n'est pas de calculer Pi mais de montrer que le rapport entre la circonférence et le diamètre de la figure "cercle" est constante.

En effet, pour une "démo", faut commencer par savoir de quoi on part, ce qui n'a été précisé par personne. Le point de départ est la géométrie du plan euclidien, et donc l'axiomatique permettant de définir le plan euclidien. Et le plan euclidien est isomorphe par les similitudes. On peut montrer qu'entre deux cercles il existe nécessairement une similitude (une homothétie, même, comme l'indique LeMulet) qui transforme un cercle en l'autre cercle. QED.

L'approche est très générale, et permet de démontrer que le rapport de la longueur d'une diagonale d'un carré à la longueur du côté est le même pour tous les carrés, bref, les rapports de longueurs dans une classe de figures sont identiques dès que la définition de la classe de figure fait qu'elle est invariante par similitude (triangle équilatéral, carré, cercle, ..., mais pas triangle ou parallélogramme, etc.).

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L'autre point discuté (et principalement discuté!) est la validité de la question, à savoir si parler du périmètre (de la longueur de la circonférence) a un sens, et que c'est bien une longueur au sens de ce qui est conservé par similitude. Ben... Suffit de donner la définition, ce qui a été fait plusieurs fois. (Et la définition est générale en géométrie différentielle, le cas du plan euclidien n'étant qu'un cas particulier.)

[invite9dc7b526]

Mais étonnamment il n'a pas éprouvé le besoin de démontrer au préalable que la circonférence du cercle est proportionnelle à son diamètre...

ce n'est pas si étonnant, vu que les Grecs ne connaissaient pas la notion de longueur d'une courbe. Dans Euclide il est question de longueur de segments du plan mais seule l'aire des figures comme les polygones et les cercles est considérée.

[andretou]

J'ignorais cela, je te remercie.

[Amanuensis]

Bof... L'isomorphisme du plan euclidien par les similitudes est intrinsèque aux présentations de la géométrie plane. Sinon faire des figures sur un tableau ou une feuille et en prendre des mesures n'aurait pas grand sens, ni même les notions de "cercle", "carré", etc. Démontrer qu'il y a une homothétie entre deux cercles quelconques ne vaut pas qu'on s'y arrête, c'est intrinsèque à la définition d'un cercle (nul besoin de préciser "où" est le centre du cercle ni l'unité de longueur utilisée pour spécifier le rayon).

Par ailleurs, les grecs n'ont pas démontré grand chose, leur axiomatique du plan euclidien étant insuffisante (du coup nombre de propriétés soi-disant "démontrées" ne le sont pas, la démo pouvant cacher des hypothèses ad-hoc). Je ne pense pas qu'il y ait eu d'axiomatique correcte du plan euclidien avant Hilbert (https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Hilbert, où on lit par exemple "En fait, il apparaît qu'Euclide utilise implicitement la conservation des angles ou des longueurs de segments lorsque ceux-ci sont déplacés d'une position à l'autre").

[invite9dc7b526]

Il y a tout de même quelques très jolies démonstrations dans Euclide. Elles n'ont sans-doute pas toute la rigueur exigée aujourd'hui - ce qu'on reproche aussi à Euler ou Cauchy - mais elles méritent, selon le critère de Hardy, une place permanente dans le corpus mathématique.

[andretou]

Par ailleurs, les grecs n'ont pas démontré grand chose, leur axiomatique du plan euclidien étant insuffisante (du coup nombre de propriétés soi-disant "démontrées" ne le sont pas, la démo pouvant cacher des hypothèses ad-hoc).

Là tu me fous les jetons...
Si leurs démonstrations ne sont pas valables selon les critères mathématiques actuels, alors qu'est-ce qui nous garantit que nos démonstrations à nous resterons valables ?

[Amanuensis]

Là tu me fous les jetons...
Si leurs démonstrations ne sont pas valables selon les critères mathématiques actuels, alors qu'est-ce qui nous garantit que nos démonstrations à nous resterons valables ?

La notion de démonstration "propre" (formelle), partant d'une axiomatique bien définie et de règles logiques formalisées, ne date que de quelque chose comme le milieu XIXè. Conclusion: ne pas prendre les écrits plus anciens comme références, ne s'y intéresser que pour leur valeur historique.

C'est le travail (relativement récent donc) sur les fondements et les démonstrations formelles qui garantit la pérennité des démos actuelles.

[Matmat]

Là tu me fous les jetons...
Si leurs démonstrations ne sont pas valables selon les critères mathématiques actuels, alors qu'est-ce qui nous garantit que nos démonstrations à nous resterons valables ?

Rien mais c'est pas grave puisque le but des mathématiques n'est pas d'éviter à Andretou d'avoir les jetons

[Amanuensis]

Il y a tout de même quelques très jolies démonstrations dans Euclide.

Certes, mais je ne contredisais pas cela. Ce n'est pas des "jolies" dont il faut se méfier. L'existence de quelques cas passant un critère ne permet pas de s'appuyer sur les autres sans examen! Ni non plus de donner un sens à "pourquoi les grecs n'ont pas éprouvé le besoin de démontrer ..." .

[andretou]

La notion de démonstration "propre" (formelle), partant d'une axiomatique bien définie et de règles logiques formalisées, ne date que de quelque chose comme le milieu XIXè. Conclusion: ne pas prendre les écrits plus anciens comme références, ne s'y intéresser que pour leur valeur historique.

Pour compléter, dirais-tu que parmi toutes les démonstrations antiques du théorème de Pythagore il en existe au moins une qui soit toujours valable ?

[Amanuensis]

Pour compléter, dirais-tu que parmi toutes les démonstrations antiques du théorème de Pythagore il en existe au moins une qui soit toujours valable ?

On ne peut pas juger de la rigueur (validité?) d'une démonstration sans avoir une liste précise des prémisses et une descriptions complètes de la logique utilisée. Sans cela on ne peut pas détecter si des "postulats cachés" ont été utilisés, éventuellement via des implicites du langage.

La question de la rigueur d'une démonstration est très difficile. Je pense vain d'essayer de juger les démonstrations antiques comme des "démonstrations mathématiques" au sens moderne. C'était plus proche de "démonstrations philosophiques", s'appuyant pas mal sur l'implicite du langage (et non sur la pure forme, comme les démonstrations formelles modernes).

[Médiat]

Bonjour,

On ne peut pas juger de la rigueur (validité?) d'une démonstration sans avoir une liste précise des prémisses et une descriptions complètes de la logique utilisée. Sans cela on ne peut pas détecter si des "postulats cachés" ont été utilisés, éventuellement via des implicites du langage.

La question de la rigueur d'une démonstration est très difficile. Je pense vain d'essayer de juger les démonstrations antiques comme des "démonstrations mathématiques" au sens moderne. C'était plus proche de "démonstrations philosophiques", s'appuyant pas mal sur l'implicite du langage (et non sur la pure forme, comme les démonstrations formelles modernes).

Pour compléter ce qui est dit ci-dessus (et que j'approuve) il est intéressant de voir la différence que les mathématiciens grecs faisaient entre axiomes et postulats.

Pour information, plus près de nous, l'axiome du choix est apparu formellement après que son usage (sous la forme "évidente" du produit d'ensembles non vides, je crois) implicite et non dit fut détecté dans une démonstration

[gg0]

Amanuensis,

tu parles comme si nos critères actuels de démonstration étaient parfaits. Il est très possible que des mathématiciens dans 20 siècles parlent de ce que tu appelles "démonstration" de la même façon que toi tu parles de celles d'Euclide. Un peu d'humilité m:athématique, que diable !

Il faut quand même noter que les mathématiques d'Euclide ont été la base de la rigueur (le nombre et l'infini qui la fondent actuellement étant subordonné pour l'un, refusé pour l'autre) au point que Kant en faisait un absolu, une catégorie de l'entendement. Il a fallu la surprise des géométries non euclidiennes et de la théorie Cantorienne des ensembles pour s'apercevoir que la situation était bien plus compliquée. Quelle sera la prochaine surprise ?

Cordialement.

[Matmat]

...le nombre et l'infini qui la fondent actuellement étant subordonné pour l'un, refusé pour l'autre ...

je n'ai pas compris "subordonné pour l'un, refusé pour l'autre" , qu'est ce que tu veux dire ?

[invite9dc7b526]

Je suis assez d'accord avec gg0. Il est impossible d'imaginer ce que seront les mathématiques dans 20 siècles mais elles seront sûrement très différentes de celles d'aujourd'hui, y compris dans leurs méthodes. Par ailleurs il ne faudrait pas croire que les démonstrations qu'on peut trouver aujourd'hui sont totalement formalisées. La preuve en est qu'il se publie régulièrement des démonstrations erronées.

[Médiat]

La preuve en est qu'il se publie régulièrement des démonstrations erronées.

Je n'ai pas de statistiques sous le coude, mais les assistants de preuve ont dû bien aider dans ce domaine, non ?

Il est impossible d'imaginer ce que seront les mathématiques dans 20 siècles mais elles seront sûrement très différentes de celles d'aujourd'hui, y compris dans leurs méthodes.

Je ne vois pas comment on pourrait ne pas être d'accord, mais :
1) Si on est platonicien, ces évolutions sont des progrès dans la connaissance, et d'une certaine façon invalideraient les mathématiques actuelles (je pense, à titre d'exemple, à une théorie des ensembles où on ne pourrait pas démontrer le théorème de Banach-Tarski).
2) Si on est formaliste, ces évolutions pourraient rendre obsolètes les formalisations actuelles, mais sans les invalider pour autant (le théorème de Banach-Tarski resterait valide avec la logique du premier ordre et les axiomes de ZFC, même si ce théorème n'apparaît plus dans aucun manuel de mathématiques), de la même façon que l'on ne peut pas invalider les règles du jeu d'échec, même si plus personne n'y joue.

Je précise que je ne prétends pas imaginer ce que pourrait être les mathématiques dans 20 siècles, je donne juste un exemple.

[andretou]

Par ailleurs il ne faudrait pas croire que les démonstrations qu'on peut trouver aujourd'hui sont totalement formalisées. La preuve en est qu'il se publie régulièrement des démonstrations erronées.

Sur les dizaines de milliers de théorèmes produits chaque année, il y a tant d'erreurs que ça ?...

[gg0]

je n'ai pas compris "subordonné pour l'un, refusé pour l'autre" , qu'est ce que tu veux dire ?

Le nombre était géométrisé (donc 1 n'était pas un nombre, il correspondait à l'unité); seul l'infini potentiel (le fini qui peut se prolonger) était admis, pas l'infini actuel. Voir par exemple la notion de droite au début des éléments, ou le fait que l'infinité des nombres premiers n'est jamais affirmée (pas d'ensemble infini).

Cordialement.

[AncMath]

Sur les dizaines de milliers de théorèmes produits chaque année, il y a tant d'erreurs que ça ?...

Il y a erreur et erreur, des petites erreurs facilement rectifiables il y en a pleins mais c'est pas très grave.
De temps en temps une grosse erreur dans un théorème important passe sous le radar.
Voir par exemple ces slides de Voevodsky.
http://www.math.ias.edu/vladimir/files/2014_IAS.pdf

[andretou]

Je suis assez d'accord avec gg0. Il est impossible d'imaginer ce que seront les mathématiques dans 20 siècles mais elles seront sûrement très différentes de celles d'aujourd'hui, y compris dans leurs méthodes.

Je ne vois pas comment on pourrait ne pas être d'accord, mais :
1) Si on est platonicien, ces évolutions sont des progrès dans la connaissance, et d'une certaine façon invalideraient les mathématiques actuelles (je pense, à titre d'exemple, à une théorie des ensembles où on ne pourrait pas démontrer le théorème de Banach-Tarski).

Concrètement, comment adviendrait-il que l'on ne puisse plus démontrer le théorème de Banach-Tarski ?
Voulez-vous dire que l'on peut imaginer de ne plus pouvoir démontrer le théorème de Banach-Tarski dans ZFC ? Mais comment cela serait-il possible si les mêmes axiomes sont conservés ?
Ou voulez-vous dire que l'on peut concevoir l'émergence d'une nouvelle théorie des ensembles ZFCX (c'est-à-dire ZFC munie d'axiomes supplémentaires ou avec des axiomes en moins, ou carrément avec des axiomes différents) dans laquelle le théorème de Banach-Tarski serait une conjecture indécidable, ou serait vrai sans qu'il soit possible de le prouver, voire même serait faux ?

Pouvez-vous SVP expliciter ?

[Médiat]

Voulez-vous dire que l'on peut imaginer de ne plus pouvoir démontrer le théorème de Banach-Tarski dans ZFC ? Mais comment cela serait-il possible si les mêmes axiomes sont conservés ?

On pourrait garder les axiomes mais changer de logique

Ou voulez-vous dire que l'on peut concevoir l'émergence d'une nouvelle théorie des ensembles ZFCX (c'est-à-dire ZFC munie d'axiomes supplémentaires ou avec des axiomes en moins, ou carrément avec des axiomes différents) dans laquelle le théorème de Banach-Tarski serait une conjecture indécidable, ou serait vrai sans qu'il soit possible de le prouver, voire même serait faux ?

On pourrait garder la logique, mais changer l'axiomatique dans une théorie XXX, qui permettrait de démontrer tous les théorèmes dont on a envie, mais où Banach-Tarski serait faux,