Bonjour à tous
C'est sûrement du niveau collège ou lycée, mais je ne me souviens pas avoir étudié cette question pendant ma scolarité et j'avoue que je ne sais pas la résoudre.
Comment démontrer que le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre est constant ?
Merci d'avance pour vos réponses
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Salut,
La question revient à se demander "comment calcule-t-on le rapport de la circonférence au rayon". Et là, il devient immédiatement évident que ce rapport est constant (en géométrie euclidienne).
Une des façons de faire est la bonne vieille méthode d'Archimède : tu approximes le cercle par un polygone, tu calcules le rapport du périmètre au rayon (et la valeur du rayon disparait dans ce rapport ! D'où la valeur constante). Puis tu passes à la limite d'un nombre infini de côtés.
Nos amis mathématiciens de ce forum connaissent sûrement des méthodes plus rigoureuses
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
salut.
par une simple intégrale de dL le long du cercle ( L étant la longueur parcourue le long de l'arc )
et dL=RdTheta.
d'où L=2pi*R=2D.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
[QUOTE=ansset;dL=RdTheta.[/QUOTE]
Oui mais dTheta est en radians ? Cela suppose que l'on sait déjà que Pi est constant...
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi "la valeur du rayon disparaît dans ce rapport ! D'où la valeur constante"Envoyé par Deedee81
Pourrais-tu STP préciser ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Bonjour,
Comme le dit Deedee, la méthode d'Archimède permet de trouver une limite qui vaut pi. Mais il faut utiliser le fait que la somme des angles d'un triangle vaut 2 droits, ce qui est un axiome équivalent au cinquième axiome d'euclide.
cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome...arall%C3%A8les.
Une formulation équivalente (Wallis) est de dire qu'il existe des triangles semblables de taille différente, ce qui fait peut-être mieux comprendre pourquoi la dimension du cercle (ou du polygone) peut disparaître dans les calculs
Dernière modification par Resartus ; 30/03/2017 à 10h30.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Su tu prends la formule donnant le périmètre d'un polygone en fonction du nombre de côtés (formule valable avec la condition euclidienne, voir le message de Resartus ci-dessus), tu peux voir que ce périmètre est :
C*R
C = une valeur qui dépend du nombre n de côtés
R = "rayon" du polygone (par exemple entre son centre et le milieu d'un coté, pour le cercle inscrit dans le polygone, c'est le plus simple)
Donc si tu fais le rapport, tu as C*R/R = C, qui ne dépend pas du rayon.
Je te laisse vérifier avec le carré, c'est trivial.
Reste ensuite à montrer que lim(n->oo) C = pi
(ou à s'en servir comme définition de pi !)
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
c'est ( je crois ) sa première définition effectivement.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
Merci pour vos réponses.
Deedee,
je comprends comment déterminer Pi par approximation par la méthode d'Archimède (encadrement du cercle par des polygones permettant d'obtenir la valeur de Pi pour un cercle donné), mais je ne comprends pas comment on peut généraliser la valeur de Pi à partir de cette méthode sans avoir recours à la trigonométrie (laquelle suppose par principe que Pi a la même valeur pour tous les cercles)...
Pourrais-tu STP essayer de m'expliquer encore une fois comment, à partir de la méthode d'Archimède, on obtient une valeur constante pour Pi ?
Resartus,
Je n'ai pas saisi l'astuce concernant les angles. Pourrais-tu STP expliciter ?
Merci pour votre patience !
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Bonjour,
Si on veut juste démontrer que le rapport est indépendant du rayon, sans chercher à l'estimer, le plus simple est d'utiliser le théorème de Thalès
appliqué aux triangles qui composent le polygone régulier. Comme c'est vrai quel que soit le nombre de cotés du polygone, c'est vrai également quand ce nombre tend vers l'infini
Le théorème de Thalès se démontre à partir de l'une quelconque des formulations équivalentes du postulat d'euclide. Voir par exemple ici une présentation très visuelle de la démonstration faite par Euclide :
http://therese.eveilleau.pagesperso-...ide_thales.htm
L''excellent site de Thérèse Eveilleau contient d'ailleurs des milliers d'autres pépites....
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Je suis une quiche en mathématiques, pour sûr.
Par contre je me demandais si on pouvait faire quelque-chose de très simple à partir des homothéties.
Sachant qu'on a peut-être affaire à quelque-chose de plus fondamental (ou pas, et c'est un peu mon interrogation) :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Homoth%C3%A9tie
Et bien sûr, l'homothétie conserve les rapports entre les longueurs des segments des figures.
Sachant que le but de la démonstration n'est pas de calculer Pi mais de montrer que le rapport entre la circonférence et le diamètre de la figure "cercle" est constante.
Bonjour, et Merci.
Bonjour LeMulet.
C'est une excellente idée, mais elle se mathématise exactement comme l'ont fait Deedee81 et les autres, en passant par une définition de la longueur d'une courbe. Car si la longueur du segment [AB] est bien la distance entre A et B, ce n'est plus le cas pour un arc de cercle.
Cordialement.
Il y a une démo rigoureuse ici: http://www.lix.polytechnique.fr/Labo...pi-exists.html
mais non ce n'est pas du niveau collège.
L'argument de la suite de polygones inscrits dans un cercle donne une idée mais ce n'est pas selon moi rigoureux
En effet, le problème est bien plus compliqué qu'il paraît...
Les Grecs en avaient-ils vraiment une démonstration ?
Bah, le problème est plus dans l'existence d'une définition rigoureuse de la longueur d'une courbe qu'autre chose.
La réponse apportée par Archimède est pourtant très rigoureuse, et la longueur a comme définition celle qu'on utilise aujourd'hui. Mais les preuves d'Archimède sont peu lisibles par les matheux d'aujourd'hui, sans apprentissage spécial. Cependant c'est la première preuve rigoureuse que le rapport du périmètre au rayon et de l'aire au carré du rayon sont constantes et égales.
Cordialement.
Bonjour,
GG0 : Il est sûr que la méthode d'Archimède est rigoureuse pour l'aire du cercle, mais il j'ai l'impression (partagée par wikipedia*, (https://fr.wikipedia.org/wiki/Longueur_d%27un_arc) qu'elle ne l'était pas autant (selon nos critères mathématiques actuels) pour la circonférence, car pour éviter les situations type fractale, il faut des hypothèses en plus : aujourd'hui on s'appuierait par exemple sur la notion de dérivabilité.
*
"Inversement, le polygone convexe régulier dont chaque milieu d'arête est un point du cercle est de périmètre plus grand. S'il ne peut démontrer cette proposition en général car il ne dispose pas d'une définition de la longueur d'un arc qui lui permettrait de réaliser cette prouesse, elle semble intuitive à l'œil"
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Salut,
C'est effectivement la notion de limite et d'infinitésimal qui n'était pas rigoureux du temps des anciens grecs. Il a fallu un trèèèèès long chemin non seulement pour bien comprendre les problèmes et arriver à des définitions rigoureuses et utiles. La topologie générale par exemple, c'est pas si vieux.
Par contre, une fois cela établit, les démonstrations sur le calcul de la circonférence par une méthode de type Archimède est clair et rigoureux. Ca ne pose pas de réel problème.
Je suppose qu'il doit aussi être possible d'avoir une démonstration archi rigoureuse de la constance de pi, step by step, en partant de l'axiomatique de Hilbert par exemple, mais je n'oserais jamais me lancer là-dedans
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Bien évidemment,
la notion de rigueur est liée à l'époque, et il est possible que nombre de nos démonstrations actuelles soient considérées comme fautives dans quelques siècles. De ce point de vue, toute la géométrie euclidienne est fautive, manquant d'un certain nombre d'axiomes non vus par les anciens grecs (style "deux cercles dont la somme des rayons est supérieure à la distance des centres se coupent"). Cependant, du point de vue de la géométrie de son époque, la preuve d'Archimède est irréprochable.
J'ai aussi pensé à l'axiomatique hilbertienne, mais moi non plus, je ne connais pas. A-t-il pu, d'un point de vue moderne, compléter la preuve d'Archimède ?
Cordialement.
Cordialement
Pour Andretou, par exemple ce genre de chose :
http://www.maths-et-physique.net/article-18006898.html
La courbe en escalier permet d'approcher l'aire du triangle, mais pas sa longueur.
De prime abord, c'est quand même très contre-intuitif.
Avec un peu d'habitude, on peut deviner que le calcul d'aire (intégration, sommation) va lisser les "discontinuités" et même aujourd'hui, il me parait plus facile d'expliquer le calcul d'une aire plutôt que le calcul d'une longueur.
Pour le cercle de rayon 1, l'aire est donnée très simplement (et sans faire intervenir de dérivabilité) par
alors que ce n'est pas le cas pour le périmètre.
Une relation donnant la longueur d'un quart de cercle de rayon 1 et qui me parait bien moins intuitive :
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Une suite de courbes Cn (ou de fonctions) peut converger (même uniformément) vers une courbe (ou une fonction) limite C sans que la limite des longueurs des Cn soit égale à la longueur de la courbe limite C.
Par définition la longueur d'une courbe est le sup des longueurs des lignes brisées inscrites dans la courbe. Or avec la suite des polygones inscrits dans un cercle, on n'a qu'un sous ensemble des lignes brisées, elles n'y sont pas toutes. La limite des longueurs des circonférences des polygones est un minorant de pi (pour un diamètre de 1).
Avec la démo que j'ai indiquée, l'auteur suppose qu'il existe 2 cercles avec un rapport circonférence/diamètre différent, puis il aboutit à une contradiction en utilisant uniquement la géométrie (Thales si ma mémoire est bonne, j'ai lu la démo il y a plusieurs années)
Dernière modification par joel_5632 ; 05/04/2017 à 10h51.
Pour répondre aux contestations de Stefjm, il faut remarquer que Archimède n'est pas sans connaissances sur la notion de longueur d'une courbe. Il montre que les longueurs des polygones réguliers inscrits dans le cercle et les longueurs des polygones réguliers exinscrits au cercle donnent deux suites adjacentes, et considère que la limite commune aux deux suites est proportionnelle au diamètre, avec le même facteur de proportionnalité que entre l'aire et le rayon. J'ai traduit en idées modernes ce qu'il fait sans la notion de limite, avec la méthode d'exhaustion. On peut lui reprocher de ne pas essayer tous les polygones (mais il est possible qu'il y ait pensé et ait traité la question, mes souvenirs sont anciens), mais cette question peut se régler avec ses outils.
La courbe proposée au message #1 est fautive, on ne prend pas des segments d’extrémités sur la courbe. Si on fait ça, on peut même avoir une limite infinie, qui n'a aucun rapport avec l'idée intuitive de longueur de la courbe : On ne "suit pas" la courbe.
Cordialement.
As-tu éventuellement la possibilité de nous donner un lien présentant cette démo d'Archimède ?
Je suis très curieux de la découvrir, même si peu lisible, et t'en serais vivement reconnaissant.
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Cherche une histoire des mathématiques grecques. Et tu peux commencer par lire "les éléments" d'Euclide pour t'habituer au style et apprendre les théorèmes de base utilisés à l'époque (rien à voir avec les maths actuelles, même celles du lycée ou de l'université).
Bonne lecture !
Merci pour ton conseil, mais le problème c'est que toutes les démonstrations d'Archimède que j'ai trouvées concernent le calcul de Pi pour un cercle donné, et non pas une généralisation du rapport de la circonférence au diamètre.
Quand tu nous as dit que :
j'avais cru comprendre que tu étais en possession de cette démonstration.
Je me suis trompé, au temps pour moi.
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Salut,
Après avoir jeté un oeil, je vois qu'en effet toutes les démonstrations que j'ai trouvé partent d'un cercle de rayon 1.
Mais ça ne nécessite pas un gros effort pour adapter l'une de ces démos en partant d'un cercle de rayon R.
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Si tu peux démontrer que le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre est constant quelque soit R, simplement à partir du calcul de Pi effectué par Archimède, alors je t'offre une bière !!!
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
manifestement, Andretou,
tu n'as pas lu les éléments d'Euclide. Archimède ne démontrait pas la constance du rapport périmètre/diamètre (dans les documents qui nous sont parvenus), mais l'égalité avec le rapport aire/rayon² et a cherché un encadrement de ce rapport.
Archimède, en vrai matheux, sait que ce rapport ne dépend pas de l'unité de mesure, et, en bon mathématicien grec il prend comme unité le rayon (ou le diamètre, je n'ai plus les textes sous les yeux). Car dans tout problème de mesure géométrique, il y a une unité définie au départ.
Mais très peu de gens lisent vraiment le texte d'Archimède (en grec ancien) ou sa traduction. En général, ses méthodes sont présentées avec un exposé moderne, très différent de ce qu'il écrivit.
Dommage que je manque de temps pour réécrire une de ces démos
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Merci Resartus (et AncMath), je viens enfin de comprendre !
En effet, le théorème de Thales permet d'affirmer que pour un polygone régulier à n côtés de longueurs C, de rayon R et de circonférence n x C, le polygone "projeté" (n côtés) de rayon 2R a pour circonférence n x C', avec C' = 2C.
Ainsi, la circonférence du polygone est multipliée par 2 quand le rayon est multiplié par 2 (et par k quand le rayon est multiplié par k).
En considérant qu'un cercle est un polygone avec une infinité de côtés, la circonférence d'un cercle de rayon R est donc k fois plus petite que la circonférence d'un cercle de rayon kR.
Le rapport de la circonférence d'un cercle au rayon est donc bien constant...
Est-ce parce que c'est finalement trop évident qu'Euclide et Archimède ne se sont pas donné la peine de le démontrer ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
