Inversibilité dans un groupe

[VioletRay]

Bonsoir,

Dans un groupe (G,*) d'élément neutre e, est-il possible d'avoir a*b=e et b*a ≠ e ?
Au cas où c'est possible, auriez-vous un exemple ?
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[gg0]

Bonjour.

la réponse est non, par unicité du symétrique. Une preuve :
Soit c le symétrique de b : en multipliant à droite la première égalité :
a*b*c=e*c
a*e=c
a=c
En multipliant à gauche par c la non-égalité :
c*b*a ≠ c*e
e*a ≠ c
a ≠ c

Donc les deux conditions sont incompatibles.

Cordialement.

NB : On voit que a*b=e dit que a est le symétrique de b (attention, on sait déjà que b a un symétrique)

[VioletRay]

Merci pour cette réponse. En fait, j'avais mal formulé ma question.

Dans la définition d'un groupe (G,*), on a:
1) * est une lci
2) L'associativité: pour tout a,b,c de G, (a*b)*c = a*(b*c)
3) L'existence d'un élément neutre e: il existe une élément e tel que pour tout a de G, e*a=a*e=e
4) L'existence d'un inverse pour tout élément de G: Pour tout a de G, il existe b dans G tel que a*b=b*a=e

Et la question que je me posais concerne la condition 4): si on remplace celle-ci par 4') : "Pour tout a de G, il existe b dans G tel que a*b=e", obtient-on une structure équivalente (de groupe) ? En clair, peut-on affaiblir la condition 4) tout en gardant une caractérisation équivalente ?

[Resartus]

Bonsoir,
On peut affaiblir les deux conditions 3 et 4; Dans un semi-groupe, il suffit qu'il existe un élément neutre à droite, et que chaque élément ait un symétrique à droite (ou bien gauche et gauche), pour montrer que ce sont les mêmes neutre et symétrique à gauche, et donc que c'est un groupe.
Voir la démonstration ici
https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe...nt_des_axiomes

Par contre, si on a un élément neutre à droite et que tout élément a un symétrique à gauche, cela peut ne pas être un groupe...

[A voir en vidéo sur Futura]

[VioletRay]

Merci pour ces clarifications !