inversibilité

[invite11f2a3ff]

Bonjour,

J'ai une question d'algèbre. J'essaie de montrer que dans une algèbre, xy inversible implique x inversible et y inversible (la réciproque est évidente). Je n'ai jamais eu de cours d'algèbre mais je crois que c'est vrai parce que dans mon cours de théorie spectrale (je sais c'est ballot de ne pas avoir de cours d'algèbre quand on fait de la théorie spectrale), il y a marqué inversible ssi inversible.

Par contraposée, je suppose x non inversible ou y non inversible. (par exemple x non inversible).

Alors j'étudie les deux cas possibles :

1 : y est inversible
2 : y n'est pas inversible

1 : Alors xy n'est pas inversible. Sinon il existe z inversible tel que qui est inversible. Contradiction

2 : La je ne sais pas quoi dire, je ne peux plus inverser y...

Quelqu'un peut m'aider sur ce point ?

Merci d'avance
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[invite11f2a3ff]

Dans le même ordre d'idée, pourquoi un idéal à gauche de la forme avec z non inversible est-il propre ?

J'ai d'abord que évidemment.
Ensuite si alors , mais ça ne contredit pas que z soit non inversible (il faudrait pouvoir vérifier ), à moins que a soit inversible, ce qui n'a pas spécialement de raison d'être.
Vous me suivez ?

Si quelqu'un peut m'aider, merci

A+

[invite986312212]

J'essaie de montrer que dans une algèbre, xy inversible implique x inversible et y inversible (la réciproque est évidente).

pour une algèbre je ne sais pas (mais j'en doute) en tout cas ça n'est pas vrai dans un monoïde général, tout ce que tu as c'est x inversible à droite et y inversible à gauche.