mesure extérieure de Lebesgue

[invite1f47911c]

Bonjour,

j'ai quelques difficultés à montrer que la mesure extérieure de Lebesgue a la propriété de dilatation. C'est une notion toute nouvelle pour moi.
L'exercice est le suivant :

Montrer que la mesure extérieure de Lebesgue à la propriété de dilatation :
µ*(rA) = lrlⁿµ*(A) pour tout A C=Rⁿ et r dans R, où rA = {rx: x dans A}
J'ai appelé µ* ce que mon livre appelle lambda* et qui n'est autre que la mesure extérieure de Lebesgue d'un sous ensemble A de Rⁿ défini par µ*(A) = inf {Somme_j lI_jl : I_j dans I et A C= Union des I_j}

Merci par avance pour votre aide !
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[invite9dc7b526]

Bonjour,

que sont les Ij ? la définition que je connais d'une mesure extérieure est différente.

[invite1f47911c]

LEs Ij sont des intervalles qui recouvrent A. Ils peuvent être fini ou infini.

[invite23cdddab]

C'est assez facile de voir que la dilatation de facteur r est une bijection de l'ensemble des recouvrements de A par des pavés vers les recouvrements de rA par des pavés.

Donc on a rapidement que



Il reste à montrer que pour tout pavé J, puis conclure

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

LEs Ij sont des intervalles qui recouvrent A. Ils peuvent être fini ou infini.

mais les intervalles ne vont pas convenir dans R^n. Tu peux utiliser les pavés comme indiqué par Tryss2 ou bien les boules ouvertes, autre façon de généraliser les intervalles. La suite du raisonnement est la même dans les deux cas.