limite de suite (problème d'indetermination)

[invite0398e75c]

Bonjour à tous, j'ai un problème avec un exercice de limite de suite.

Voici la suite:

Un = n^4 [ 7 cos (1/n) + 2 exp (1/n^2) - 9 sin (1/n) ]

On me demande la nature et la limite de la suite.

1] Concernant la nature il faut bien savoir si elle est géométrique ou arithmétique
calcul de Un+1 / Un ... ????

2] Pour la limite je me retrouve bloqué avec une indetermination "0 * infini"

j'essaye donc de lever l'indetermination sans succès !!!

Un petit coup de pouce me serait bien utile.

Merci pour votre réponse.
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[invite8b04eba7]

Salut !

Je pense que par "nature" on entend ici convergente ou divergente.

Pour calculer la limite, tu peux effetuer un développement limité de chaque terme (utlise par exemple une formule de Taylor si tu connais pas les développements au voisinage de zéro des fonctions usuelles).

[invite0398e75c]

merci je vais essayer avec les dvts limités.

pour la convergence / divergence, on considère que cette suite est une suite ou une suite de fonctions ?

[invite9c9b9968]

Tout d'abord, il n'y a aucun souci d'indétermination. Relis bien la définition de la suite !

Ensuite, tu es en présence d'une suite, il n'y a pas de fonctions en présence ; tu as dû confondre avec le fait que cette suite un pouvait s'écrire un=f(n) où f est une fonction, mais cela est différent d'une suite de fonction où n est l'indice d'une fonction : une suite de fonction s'écrit typiquement fn avec fn : x -> fn(x) fonction pour tout n.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0398e75c]

En effet j'ai commis une faute en recopiant la suite. En réalité

Un = n^4 [ 7 cos (1/n) + 2 exp (1/n^2) - 9 * n * sin (1/n) ]

ce qui donne "0 * infini" > n * sin (0) en + infini

Faut il alors en effet utiliser des dvts limités ???

Merci

[invite9c9b9968]

Effectivement, les DLs seraient les bienvenues dans ce cas, il y a effectivement indétermination apparaente

[invite0398e75c]

cette fois ci j'ai utilisé le dvt limité en 0 de sin x ~ x avec x = 1 / n

cela donne

lim (+infini) = infini [ 7 cos 0 + 2 exp 0 - 9 n n ]
= infini [ 7 + 2 - 9 n^2 ]
= infini [ 9 - infini ]
= infini [ - infini ]

Il y a donc une nouvelle indetermination que je n'arrive pas à lever.

J'ai essayé les formules de Taylor mais j'y arrive pas (je sais pas trop m'en servir).

Pourrais-je avoir un peu d'aide, merci beaucoup pour vos réponses !

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Juste un petit rappel : L'équivalent de sinus(x ) en 0 est x, et pas 1/x. Tu devrais plutot obtenir infini*0, ce qui est aussi une forme indéterminée, mais que tu devrais pouvoir lever en poussant le dl plus loin (au moins l'ordre 4 semble raisonnable...)

__
rvz

[invite0398e75c]

Mais comment fait exactement on pour efectuer un dl sans utiliser un résultat tout fait ? et au 4eme rang ?

Pourrai-t-on me donner un exemple avec un terme de la suite .

Merci...

[invite6b1e2c2e]

Par exemple, tu apprends une bonne fois le dl d'exponentiel, qui est plutot facile (c'est même la somme de sa série de Taylor sur tou C), et tu écris que cos = (exp(ix)+exp(-ix))/2. Idem avec sinus.
Tu calcules, et tu trouves un truc.

__
rvz

[invite0398e75c]

quand j''utilise sin (x) = (exp(ix) - exp(-ix))/ 2i ça donne infini * infini !

quand j'utilise le dl de sin (x), que j'ai eu du mal a retrouver,

sin(x) = x - (x^3/3!) + (x^5/5!) - ... + O(x^(2n+3) la limite

infini - infini ??

est ce que quelqu'un pourrait m'aider à trouver cette limite de suite ?? j'y arrive vraiment pas

Un = n^4 [ 7 cos (1/n) + 2 exp (1/n^2) - 9 * n * sin (1/n) ]

lim en + infini ???

Merci beaucoup

[invite6b1e2c2e]

Bonjour,

Dès la première ligne , je ne suis pas d'accord !
sin(x) = 0.5 ( exp(ix) - exp(-ix))
Ca, ça me va ! Par contre, je ne vois pas où apparait l'infin*l'infini. D'abord, on est d'accord que sin est borné, non ?
Bon, et puis je te disais ça pour retrouver une méthode rapide pour trouver le dl de sin.
En effet, exp(z) = \sum z^n /n! , et cette formule étant très classique, tu devrais la connaître, on est d'accord ?
Après, tu poses z = ix, z= -ix, et tu fais la demi différence, ce qui te permet de t'apercevoir que sin a en gros comme dl le dévelloppement impair de exp avec un (-1)^n qui se balade.

Pour info, la limite, c'est plus l'infini.

__
rvz

[invite9c9b9968]

Hep rvz, mal réveillé ?

On a bien .

Pour la limite, je trouve plutôt (trouver une valeur finie après un développement à l'ordre 4, c'est plutôt logique...)

[invite6b1e2c2e]

Hep rvz, mal réveillé ?

On a bien .

Pour la limite, je trouve plutôt (trouver une valeur finie après un développement à l'ordre 4, c'est plutôt logique...)

Il se passe vraiment des trucs bizarres avec le latex et les i. Dans ton message, je lis 1/i sinh(x), mais quand je le cite, je vois que tu as clairement mis un i dans l'expo, enfin bon, de toute façon, tout le monde sait ce qu'on veut dire
Cela dit, j'ai peut-être fait une erreur de calcul mais chez moi les termes d'ordre 2 ne s'annulent pas. Et je sais plus ce que j'ai fais de calcul gribouillé quelque part au dos d'un papier. Après, il faudra aussi que tu m'expliques pourquoi c'est logique de trouver une valeur finie ...

[edit: Et maintenant je vois les i dans l'expo... Je deviens fou ou quoi ? /edit]
__
rvz, effectivement un peu dans le paté depuis ce matin (regarder les Nuls toute la nuit, ça aide pas à se réveiller )

[invitec314d025]

IAprès, il faudra aussi que tu m'expliques pourquoi c'est logique de trouver une valeur finie ...

Je pense que Julien voulait dire que si le premier terme non nul est en 1/n⁴, on tombe sur une limite finie avec le facteur n⁴ qui est devant.

Je trouve aussi 73/60.

[invite9c9b9968]

Ce que je voulais dire, c'est que étant obligé de pousser le DL à l'ordre 4 pour avoir des termes qui ne s'annulent pas, et ayant n^4 en facteur, c'est logique de trouver une limite finie puisque

EDIT : bon bah matthias m'a devancé

[invite0398e75c]

Bonsoir, j'ai encore besoin d'aide pour cette limite de suite. J'ai beau faire des pages et des pages de calcul je me retrouve avec

Un = 2n^3 - 6 n^2 + ( 2n / 6) + (9/24)

Et la limite n'est pas 73 / 60 !!!

est ce que qqun pourrait me dire d'une manière explicite comment on sait qu'il faut aller à l'ordre 4 ?? et si ma première ligne de calcul est juste ??

sachant que j'utilise le grand O !!!

Un = [ 7 (1 - (x^2/2!) + (x^4/4!) + O (x^6)

+ 2 ( 1 + x + (x^2/2!) + (x^3/3!) + (x^4/4!) + O (x^5)

- 9 n ( x - (x^3/3!) + O (x^5) ) }

Merci infiniment

[invite9c9b9968]

Tout d'abord, les grands O ne sont pas à utiliser dans ce genre de cas, car ils donnent une information trop faible : par exemple dire que f(x) = O(1) en x0 ne permet pas de conclure quant à la limite de f(x), alors que dire que f(x)=o(1) permet d'affirmer que f(x) tend vers zéro quand x tend vers x0.

Ensuite, ce qui nous permet d'affirmer qu'il faut pousser le DL à l'ordre 4 est le calcul, tout simplement... Avec les DLs classiques de sin et cos, je ne vois pas comment tu peux ne pas t'en sortir

Et il ne faut pas des pages de calculs, comme l'a dit rvz et je te le confirme, un petit bout de papier de 5 cm sur 5 cm suffit largement

[invite0398e75c]

En partant de

Un = [ 7 (1 - (x^2/2!) + (x^4/4!) + O (x^6)

+ 2 ( 1 + x + (x^2/2!) + (x^3/3!) + (x^4/4!) + O (x^5)

- 9 n ( x - (x^3/3!) + O (x^5) ) }

Je retrouve bien

Un = n^4 [ (2/n) - (1/n^2) + (1/n^3) + (9/24n^4) ]

= 2n^3 - 6 n^2 + ( 2n / 6) + (9/24)

et ca donne pas une limite en +infini de 73/60

Y doit y avoir quelquechose qui cloche ou que j'ai pas compris. Le départ est bon ????

HELP !!!!

[invite9c9b9968]

Je n'ai même pas envie de lire, pour deux raisons :

_ ne pas mélanger les x et les n, en gros ne pas appliquer bêtement le DL mais l'adapter à la situation

_ Pourquoi les petits o ont sautés ? On fait des maths, pas de la physique


Tu laisse le n^4 en facteur, et tu fais les DL à l'intérieur de la parenthèse jusqu'à l'ordre 4 (ie o(1/n^4) pour tout le monde). J'attend


EDIT : j'ai quand même lu un peu, et comme tu appliques sans réfléchir le DL de exp, tu as des trucs complètement faux. Ecris-nous le DL de exp(1/n^2)

[invite0398e75c]

Ecris-nous le DL de exp(1/n^2) :

à l'ordre 4

Exp x = 1 + x + (x^2/2!) + (x^3/3!) + (x^4/4!) + o(x^4)

avec x = 1/n^2

exp (1/n^2) = 1 + (1/n^2) + (1/2n^4) + (1/6n^6)

+ (1/24n^8) + o (1/n^8)


C'est bon ?

[invite9c9b9968]

Le DL est bon, mais est-tu sûr de l'avoir fait à l'ordre 4 ? Ce n'est pas plutôt à un ordre plus élevé ?

Relis bien la définition de l'ordre d'un DL dans ton cours

[invite0398e75c]

C'est un peu la question que je posais dans mon autre post (ordre des dls).

à l'ordre 4 ca serait donc

exp (1/n^2) = 1 + (1/n^2) + (1/2n^4) + o (1/n^4)

la ca devrait etre bon.

après il faut utiliser ce dl plus celui de sin et de cos ?
Si c'est ca je veu bien mais je trouve pas la bonne limite.

[invite0398e75c]

Je trouve

Un = n^4 [ (31/24n^4) + 9 o (1/n^4) - 9 n o (1/n^4) ]

Que fait on des restes : o (1/n^4)

Comment on les integre au calcul ??

Merci

[invite9c9b9968]

C'est un peu la question que je posais dans mon autre post (ordre des dls).

à l'ordre 4 ca serait donc

exp (1/n^2) = 1 + (1/n^2) + (1/2n^4) + o (1/n^4)

la ca devrait etre bon.

Ok là on est d'accord.

après il faut utiliser ce dl plus celui de sin et de cos ?
Si c'est ca je veu bien mais je trouve pas la bonne limite.

C'est bien ça, il faut utiliser le dl de sin et cos. Mais attention, encore une fois, à l'ordre 4 au final, et pour cos(1/n) et pour n*sin(1/n) (je crois donc que tu as oublié des termes ...)


J'attend


EDIT : en fait ce n'est pas je crois, c'est "j'en suis sûr" car 31/24 est bon, mais il faut lui soustraire un terme pour obtenir la bonne limite finale.

[invite1f4deb77]

Bonjour,

Je ne vois pas ce qui pose problème dans cette suite.

D'abord, j'écrirais que sa limite pour (n -> l'infini) est la même que celle de la fonction

f(x)=(1/x^4)*[7cos(x)+2exp(x^2)-9sin(x)/x]

pour (x -> 0).

Je développe le crochet à l'ordre 4 autour de zéro:

f(x)~(1/^x^4)*[7(1-x^2/2+x^4/4!)+2(1+x^2+x^4/2)-9(x-x^3/3!+x^5/5!)+O(x^6)]

= (1/x^4)*[7/4!x^4+x^4-9/5!x^4+O(x^6)]

= 7/4!-9/5!+1+O(x^2)

pour x~0.

La limite vaut donc 7/4!-9/5!+1, ce qui, je crois, fait 1,216666...

Z.

[invite1f4deb77]

Petite erreur: il fallait évidemment lire

f(x)~(1/^x^4)*[7(1-x^2/2+x^4/4!)+2(1+x^2+x^4/2)-9(x-x^3/3!+x^5/5!)/x+O(x^6)]

(j'avais oublié un "/x").

[invite0398e75c]

Ce coup ci ca y est. Il fallait donc rajouter un terme de plus au sinus car son degré revenait a à 4 avec le "n sin x" !!

Je trouve enfin lim = 73/60

Merci pour la patience de 09Jul85 qui m'a aidé à mieux comprendre les DLs.

[invite9c9b9968]

Pas de quoi, ça m'a fait plaisir de t'aider

A bientôt j'espère