Série entière et équa diff

[invitecb82f686]

Bonjour,

J'ai un petit problème sur un exo. On considère l'équa diff :


Et on veut d'abord trouver une série entière telle que la restriction de cette dernière sur R+ soit solution de (E), puis déterminer toutes les solutions de (E), en déduire qu'une seule est prolongeable par continuité en 0, et finalement déterminer la série entière g(t) telle que .


Pour le départ, voilà ce que j'ai fais :

Soit solution de (E) et de rayon de convergence R. On a, sur ]0;R] :

Donc :

<=>
<=>

De plus :


Donc on en déduit par unicité du développement en série entière :

et


Donc

de rayon de convergence +inf.

Ensuite, pour l'ensemble des solutions de (E), je trouve :


et bien sûr, je trouve que l'unique solution prolongeable par continuité en 0 est : .

Donc par unicité, on a :


Donc :


Problème : en faisant quelques tests avec différentes valeurs, ce résultat semble faux. Mais j'ai beau cherché d'où vient l'erreur, je n'arrive pas à la localiser...

Des idées ? Un peu d'aide ?

Merci d'avance
-----

[invite51d17075]

De plus :

tu es sur de ça, j'ai un doute.

[invitecb82f686]

On a :



Donc :



D'où :

[invite51d17075]

oui, désolé,
je vois un autre truc.

Donc :

sur les facteurs 2 et donc (1/2)
car au rang 1 sin(t*rac(t))/rac(t) equiv à t*rac(t)/rac(t) soit t.
ton résultat fait apparaître un terme en (1/2) ?!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecb82f686]

Je crois que je me suis trompée, l'ensemble des solutions est :



Il n'y a pas le facteur 2. J'ai tellement fait et refait les calculs que je m'emmêle...

Néanmoins toujours le même problème. Mais à priori quand je fais le test avec la fonction 3tcos(t^3/2) (cf au dessus), ça ne marche pas non plus... est-ce que ça vient pas de mes simulations ??

Je crois que j'ai l'esprit embrouillé, je vais aller dormir et voir ça demain !

[invite51d17075]

je pensais avoir trouver le soucis avec le facteur 2, mais cela semble insuffisant.
ps : il est tard pour moi aussi ....
bonne nuit .
Cdt

[jacknicklaus]

çà c'est bon.

[invite51d17075]

je ne vois pas ce qui ne colle pas .
on a bien

avec
.

mais l'équation ne revient pas à comparer le DL de f avec celui g !
je ne sais pas ce que tu as fait comme "simulation".

[invitecb82f686]

Oui je ne vois pas ce qui ne colle pas... Non pour les simulations, j'ai été sur un site qui permet de calculer la somme des séries jusqu'à un certain rang, et à priori à chaque fois je trouvais (pour un rang assez grand) des valeurs qui restaient plus ou moins autour d'une certaine valeur... différente de celle de la fonction correspondant à la série entière. Mais apparemment je trouve ça même pour des séries entières correspondant à des fonctions bien connues...

Merci de l'aide en tout cas !

[invite51d17075]

ouais, pas trop étonnant avec des fct trigo qui oscillent !