Norme subordonnée, rayon spectral, besoin d'explications...

[invite4308cf33]

Bonjour,
Je ne comprends pas certains points d'un exercice corrigé. Je précise que je travaille seule, donc avec des cours trouvés sur internet...

Soit ||.|| une norme sur .

1) Soit telle que p(A) < 1 (on rappelle qu'on note p(A) le rayon spectral de la matrice A). Pour , on définit :

.

(a) Montrer que est bien défini pour chaque x.
(b) Montrer que est une norme.

2) Soit tel que . Calculer en fonction de ||x||, et en déduire que (dans la dernière expression, est la norme subordonnée à la norme vectorielle ).




La correction de la question 1a) :
Si p(A) < 1, alors il existe une norme subordonnée telle que . (ici j'ai compris, en effet pour toute norme matricielle subordonnée ||.||, p(A) <= ||A||).
Par suite la série converge puisque . (ici j'ai compris aussi, il s'agit d'une propriété de la norme matricielle subordonnée).
Comme toutes les normes sont équivalentes, il existe une constante C > 0 telle que ... Alors là je ne comprends pas, qu'est-ce que ça veut dire "les normes sont équivalentes" ?? Et pourquoi on a cette inégalité ? Je n'ai pas trouvé de résultats répondant à ces questions dans mon cours...

Pour la question b), pas de problème.

Pour la question 2) :
On a . De plus .
Bon là je ne comprends rien de rien... Je ne vois pas pas pourquoi on a ces deux résultats... Pour moi et ce n'est pas égal à ...
Et ensuite => donc on a le résultat souhaité.
Encore une fois je ne comprends pas cette implication, je suppose que des étapes jugée "simples" on été passées mais du coup je suis perdue.

Si quelqu'un pouvait m'expliquer tout ça, ça m'aiderait franchement à bien avancer ! Là je suis perdue... Merci d'avance, même si c'est pour répondre à un seul de ces différents points... Bonne soirée!
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[feanorel]

Comme toutes les normes sont équivalentes, il existe une constante C > 0 telle que ... Alors là je ne comprends pas, qu'est-ce que ça veut dire "les normes sont équivalentes" ?? Et pourquoi on a cette inégalité ? Je n'ai pas trouvé de résultats répondant à ces questions dans mon cours...

C'est la définition de norme équivalente. Soit E un espace vectoriel, et N et N' deux normes sur E. Alors N et N' sont équivalentes si et seulement si il existe deux réels a et b tel que
pour tout x\in E, N(x) < a N'(x) et N'(x) < b N'(x). Un résultat fondamental de l'algèbre linéaire dis que si E est de dimension finie alors toutes ses normes sont équivalentes.


Pour le b, tu peux réécrire ta somme avec A^{j+1} ou encore avec une somme pour j allant de 1 à +\infty, donc c'est bien la même chose que ce qui est annoncé.