Matrice à coefficients dans R qui n'est pas diagonalisable dans C

**Michiyo** · 03/05/2017, 16h09

Bonjour, je recherche depuis un moment déjà un exemple d'un endomorphisme assez simple (de dimension 4 ou 6) à coefficients réels qui n'est pas diagonalisable dans C ni trigonalisable dans R, autrement dit un endomorphisme qui aurait par exemple comme polynôme minimal (X²+1)² ...
Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

**minushabens** · 03/05/2017, 16h49

Considère une matrice nilpotente mais non nulle, i.e. une matrice A non nulle telle que A^n=0 pour un certain entier n. Elle n'est pas diagonalisable parce que si C=BAB' est diagonale (je note B' l'inverse de B) alors C^n=BA^nB' = 0 de sorte que C^n=0 mais C étant diagonale cela implique C=0

**Michiyo** · 03/05/2017, 17h00

Tu aurais un exemple concret a donner ? Il faut que j'étudie un exemple

**AncMath** · 03/05/2017, 17h15

Et bien prend simplement $\text{[math]}$ et comme endomorphisme $\text{[math]}$ la multiplication par $\text{[math]}$ .
Ici $\text{[math]}$ est de dimension 4, et le polynôme minimal de $\text{[math]}$ est celui que tu veux.
La matrice de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ est la matrice compagnon de $\text{[math]}$ .

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**Michiyo** · 03/05/2017, 17h33

Je ne connais pas tout ça ... j'ai l'impression que ca ne répond pas à mon problème ...
J'avais pensé à la matrice
(0 1 0 0
-1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 -1 0) qui a me bon polynôme caractéristique mais dont le polynôme minimal est quand même à racines simples ... je n'arrive juste pas a trouver une matrice qui n'aurait pas ce problème ...

**AncMath** · 03/05/2017, 18h11

Pourquoi as tu cette impression ?
Soyons concrets : prend la matrice $\text{[math]}$
qui n'est autre que la matrice de mon $\text{[math]}$ du message précédent dans la base que j'ai mentionné.
Quel est son polynôme minimal selon toi ?

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