Bonjour,
Je me penche sur cette notion et sur leur utilisation. J'ai lu des trucs (Wiki) mais c'est pas tout à fait clair dans mon esprit.
Soit A un point dans l'espace 3D défini par un quaternion. Il a 4 coordonnées appelées W, X, Y, Z ; et un point B idem.
Je cherche à exprimer le vecteur AB dans l'espace 3D.
Voila en gros mon problème.
Si quelqu'un pouvait m'indiquer un bon cours, en français, ce serait sympa.
Merci d'avance.
Après avoir approfondi un peu, je me rends compte que j'ai dit quelque-chose d'idiot. Un quaternion n'est pas un point, mais une représentation d'une rotation en 3D.
Cela peut être un point, mais dans un espace 4D...
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Les quaternions unitaires fournissent une notation mathématique commode pour étudier une rotation en 3D.
D'un autre côté les rotations 3D autour d'un point forment un espace de dimension 3. Les quaternions de norme unité forment aussi un espace de dimension 3, et un quaternion de norme unité peut être vu comme un point de cet espace-là (qui est difféomorphe à S3).
Edit: Croisement
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Merci, mais pratiquement, supposons que j'ai un point P (connu) une rotation définie par un quaternion Q (connu) quel est transformé d'un point A (connu).
D'une façon ou d'une autre, on doit arriver à
XA' = XP + f(A, Q, dist(PA))
YA' = ...
ZA' = ...
c'est dans wiki !! tu ne l'as pas vu ? https://fr.wikipedia.org/wiki/Quater...ions_unitaires
Ben si, je l'ai vu.
C'est un cours que je cherche et non un article de vulgarisation.
Il y a effectivement un calcul, pas compliqué, mais long.
Je cherche à comprendre comment on calcule ce quaternion (à partir de mesures), j'ai bien compris que c'est une formulation mathématique, probablement intéressante dans un certain contexte. J'aimerais bien connaitre ce contexte. Enfin, j'aimerais bien connaitre le cheminement complet depuis la mesure jusqu'au résultat final.
En mathématique, il me parait indispensable de comparer deux méthodes dans le détail pour pouvoir choisir. Pas toi ?
J'ai lu par ailleurs que cette méthode avait été abandonnée, puis remise en service. Petit soupçon, cette méthode est intéressante parce qu'elle donne l'occasion d'exercices qui affutent la capacité des étudiants. Ce n'est pas ma préoccupation.
Je suis prêt à démonter le processus (ie analyser), selon mes capacités et dans le moindre détail.
Il est certain que si des membres comme Amanuensis me donnaient un coup de main, ça m'aiderait.
Juste un petit détail très technique : dans le contexte informatique, à cause de la codification des nombres, certaines opération sont entachées d'erreur. Dans de nombreux cas, ces erreurs se propagent alors qu'en fait elles n'existent pas. Dans le cas de rotation en 2D, on ne rencontre pas cet inconvénient, par contre en 3D il est difficile à le contourner. Trois points homologues définissent une rotation en 3D. Mais 3 points sont coplanaires. Or l'égalité (ou le rapport) des distances ne peut pas être satisfait. Il est donc nécessaire de définir la transformation avec quatre points. Je me demande si l'utilisation des quaternions permet cela.
Si ça devient trop technique, on peut correspondre par mail.
??? faire deux multiplications (ie conjugaison) pour effectuer une rotation, c'est long ?Envoyé par Dlzlogic
Et réciproquement, connaître le quaternion unitaire à partir de la rotation, c'est la formule donnée explicitement à la première ligne du paragraphe avec les sin et cos !
Tout ça est instantané...
Bonjour,
J'ai un peu avancé dans mes lectures. J'ai noté ceci dans l'article "discussion" :
Donc, j'ai compris que quaternion et rotation en 3D étaient directement liés. Un quaternion est une représentation mathématique d'une transformation appelée rotation dans l'espace 3D et rien d'autre.Bonjour, j'ai remarqué la section 'quaternions optimaux' proposant une technique afin d'obtenir le quaternion le plus proche du quaternion réel pour une matrice ayant des erreurs d'arrondi. La technique propose de calculer une nouvelle matrice de rotation ayant des propriétés lui permettant de récupérer le quaternion le plus proche du quaternion réel recherché.
J'ai testé la technique en Matlab et je n'ai obtenu aucun résultat concluant; j’obtiens systématiquement un quaternion erroné, qui n'a rien à avoir avec le quaternion recherché. J'aimerai connaitre des sources démontrant que cette technique fonctionne, car j'ai des doutes sur son bon fonctionnement. Salutations, Alexandre.willame (discuter) 30 juin 2014 à 17:49 (CEST)
De toute façon, Wikipédia n'est en principe pas un guide pratique... (Smiley: triste) --Catarella (discuter) 30 juin 2014 à 20:49 (CEST)
Dans un contexte de calcul numérique, une rotation ne peut pas produire un calcul exact. La seule façon de produire un calcul exact est la transformation affine qui nécessite 12 paramètres en 3D.
donc tu n'as pas compris ce que nous avons tenté de te signaler avec nos réponses ci-dessus... et tu restes sur une idée fausse comme au départ
Oui et non. Les quaternions sont à la base juste un ensemble mathématique avec des propriétés particulières, assez riches, aussi bien algébriques (des "nombres") que géométriques (topologie, géométrie différentielle, ...). C'est assez similaire aux réels. Ou encore aux nombres complexes.
Comme les réels et les complexes cela peut servir d'outils en géométrie euclidienne ou en physique, exploitant aussi bien les propriétés algébriques (addition, multiplication, ...) que géométriques. À ce sens, les quaternions sont un outil pour les rotations en 3D et de la pour la mécanique classique du solide.
Non, pas "et rien d'autre". Ce serait comme dire qu'un réel est une représentation mathématique d'une transformation appelée translation dans l'espace 1D et rien d'autre. Ou dire qu'un complexe est une représentation mathématique d'une transformation appelée rotation dans le plan euclidien et rien d'autre.Un quaternion est une représentation mathématique d'une transformation appelée rotation dans l'espace 3D et rien d'autre.
Dans le contexte de la géométrie affine euclidienne 3D, une rotation est une transformation affine particulière. L'espace des transformations affines est une variété de dimension douze (douze paramètres continus (1) pour définir univoquement tout élément de cet espace), et les rotations forment un sous-espace des transformations affines, une sous-variété de dimension trois (trois paramètres continus pour définir une rotation).Dans un contexte de calcul numérique, une rotation (...) la transformation affine qui nécessite 12 paramètres en 3D.
L'espace des quaternions unitaires a un certain nombre de propriétés en commun avec l'espace des rotations 3D, d'où l'usage de quaternions comme représentation de rotation. (Notons que les deux espaces ne sont pas difféomorphes, l'espace des quaternions unitaires est "deux fois plus gros", au sens où deux quaternions antipodaux représentent la même rotation 3D ; quelque chose de similaire apparaît entre les complexes et les rotations du plan: une même rotation est représentée par une infinité de nombres complexes.)
L'exemple des complexes et des rotations du plan est à méditer, le cas des quaternions et des rotations 3D est très similaire.
(1) Plus des paramètres discrets.
Dernière modification par Amanuensis ; 14/05/2017 à 14h04.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Bonjour Amanuensis,
Il est vrai que ma perception du problème est un peu tronquée puisque je me limite à la géométrie Euclidienne en 2D ou en 3D. En 2D, le nombre de paramètres nécessaires pour un bon résultat est 6, en 3D le nombre de paramètres nécessaires est 12.
Explication : avec un nombre de chiffres significatifs limité, deux segments AB et A'B', transformés l'un de l'autre par rotation, sauf cas particulier, ne peuvent pas être égaux.
En tout cas merci pour ces précisions.
Cela n'a rien de particulier aux rotations ou aux quaternions.
Ce n'est qu'un cas particulier d'un principe général du calcul numérique travaillant sur des représentations finies: cela ne peut pas être une représentation correcte de l'ensemble des réels (même si certains langages de programmation ont l'outrecuidance de nommer des types numériques comme "real") et donc ne permet pas de traiter comme on voudrait l'égalité entre réels.
On est confronté à cela dès qu'on fait une résolution numérique d'équations en mécanique (et autres), cela doit être pris en compte de manière générale, on se fiche que ce soit amené par des rotations ou par autre chose.
Dernière modification par Amanuensis ; 14/05/2017 à 16h20.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
