Matrice : rang(BC)

[kizakoo]

Bonsoir, voici un exo que j'essaie de résoudre:
Soient deux matrices B ∈Mn,r(R) et C ∈Mr,n(R) de même rang r. Montrer que A = BC est de rang r.
Voici une correction trouvée sur le site de Mr Quercia:
B admet r lignes indépendantes d’indices i1,...,ir et C admet r colonnes indépendantes d’indices j1,...,jr. Soient Bo et Co les sous matrices carrées associées dans B et C. Alors la sous-matrice de A d’indices i1,...,ir pour les lignes et j1,...,jr pour les colonnes est BoCo, de rang r. Donc rg(A)> r et l’inégalité inverse est évidente.

Au fait comme ce qui est en gras n'est pas trivial, j'essaie de le démontrer . J'ai tenté de prouver la liberté de la famille des r colonnes de la matrice BoCo mais en vain je n'arrive à aucun résultat . Quelqu'un pourrait-il m'aider?
Merci d'avance
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[kizakoo]

*******quelqu'un pourrait m'aider? ***********
je n'ai pas fait attention.

[invite23cdddab]

Moi (vision personnelle) je raisonnerai directement avec l'interprétation "applications linéaire" des matrices :

C représente (dans la base canonique de ces espaces) une application linéaire c: R^n -> R^r . Comme C est de rang r, c(R^n) = R^r (l'espace tout entier)

De même, B représente (toujours dans les bases canoniques) une application linéaire b: R^r -> R^n, donc b(R^r) = V, un espace de dimension r inclus dans R^n

Ainsi A = BC représente (encore dans la base canonique) une application linéaire a: R^n -> R^n qui vérifie a(x) = b(c(x))

On a alors a(R^n) = b(c(R^n)) = b(R^r) = V qui est de dimension r, donc l'espace engendré par a est de dimension r, donc A est de rang r