Cauchy Lipschitz

[invite4308cf33]

Bonjour, on me demande si les conditions du théorème de Cauchy-Lipschitz sont satisfaites pour cette équation avec la condition initiale et si oui, dire si la solution maximale est globale.

On a qui existe et est continue, donc est localement lipschitzienne et continue.

Pour étudier la solution maximale : Je remarque immédiatement que x = 0, ainsi que x = pi/2 [modulo pi] sont des solutions constantes.

Soit une autre solution maximale, différente de ces premières solutions. On la note u, on note son intervalle maximal J.
Ainsi, u est "coincée" entre ces solutions. Soit on a 0 < u(t) < pi/2, soit on a -pi/2 < x(t) < 0, etc.
Entre deux points d'annulation de x'(t), x'(t) garde un signe constant donc x(t) est strictement monotone.
Comme la solution est bornée (et monotone !) dans tous les cas, le théorème des bouts implique que la solution est globale définie sur R !

Quelqu'un peut me dire si c'est bon ?
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[invite6710ed20]

Bonjour
Oui c'est cela . Mais la façon de justifier avec le th de Cauchy LIps (i,e) mérite un effort e rédaction

[invite4308cf33]

Merci , oui c'est vrai que je gagnerais à rédiger plus correctement