une injection naturelle non continue

[invite363c0a61]

Bonjour à tous.
Si S(1) est l'ensemble des suites sommables et S(2) celui des suites à carrés sommables, il est immédiat que ce sont des espaces vectoriels normés (les normes: somme et somme des carrés). Aussi, S(1) est dans S(2) et l'inclusion est stricte.
Cela dit, il semblerait que l'injection naturelle de S(1) dans S(2) ne soit pas continue.
Je ne me visualise pas du tout cette idée. Pourriez-vous m'exhiber une suite de suites de somme aussi petite que l'on veut mais de somme de carrés minorée par une quantité positive et non nulle ?
Merci.
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[invite363c0a61]

Je veux dire, est-ce que vous pourriez m'apporter de la lumière à ce sujet ?

[gg0]

Bonjour.

Tu es sûr pour la norme sur S(1) ?

Cordialement.

[invite363c0a61]

Sûr de quoi?! Si c'est bien une norme? Faudrait-il​ que je précise:"Somme des modules" et "somme des carrés des modules"?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

Donc il faut que tu considères les séries absolument convergentes et non simplement convergentes.

[gg0]

Je lis ce qui est écrit

[invite51d17075]

@Soel:
déjà, une norme est de E -> R+
est ce S(1) satisfait ce critère pour toute suite sommable ?

[invite363c0a61]

Apparemment c'est un problème de terminologie !!!
Par ›suite sommable‹ dans un espace vectoriel normé complet, j'entends "la série de terme général la norme du n-ième vecteur, est convergente" de même pour ›carré sommable‹. Mais c'est la définition usuelle des espaces l¹(N) et l²(N), non???

N:="Ensemble des entiers naturels"

[Resartus]

Bonjour,
Faut-il comprendre que "l'injection naturelle" dont tu parles est simplement l'identité? C'est à dire que la même suite appartient à la fois à l'espace des suites de valeur absolue sommable, et à l'espace des suites de carré sommable?

Si c'est bien cela, je ne vois pas comment cette injection pourrait ne pas être continue...

Si on revient aux définitions de la continuité, si deux suites x et y tendent l'une vers l'autre au sens de la norme 1, c'est à dire que somme |xi-yi| est inférieure à epsilon, alors la norme au sens 2 de leur différence, qui vaut somme |xi-yi|² est plus petite que (somme|xi-yi|)² et est donc inférieur à epsilon².

Quelle est la source qui te fait supposer que ce ne serait pas le cas?


Ou alors "injection naturelle" a une autre définition....

[invite363c0a61]

Utilisez la terminologie que vous voulez (pas très important)! Pourvu que S(1) et S(2) soient respectivement, pour un espace vectoriel normé complet E, l'ensemble des suites de E telles que la série des normes associée soit convergente, et l'ensemble des suites de E telles que la série des carrés des normes associée est convergente.
Ce sont des espaces vectoriels normés.
(Typiquement l'ensemble des nombres complexes)
S(1) est inclus dans S(2), mais l'injection de S(1) dans S(2) n'est pas continue ! Je n'arrive pas à le prouver et je demande éclaircissements. Y aurait-il une erreur dans mon livre ?
Merci.

[invite363c0a61]

En effet, c'est l'identité.
Ma source: Cours de Mathématiques MP* — Jean VOEDTS. Page 425
Il y a des exercices difficiles là dedans qui m'éprouvent beaucoup !

[invite363c0a61]

Bien sûr, la norme sur l'espace des suites à carrés sommables, on prend la valeur absolue pour conserver l'homogénéité.

[invite9dc7b526]

Il suffit de construire une suite d'éléments de S2 qui converge vers une suite qui n'est pas dans S1. On aura ainsi un fermé (la suite et sa limite) dont la préimage par l'injection canonique ne sera pas fermée.

[invite9dc7b526]

ah ben non, c'est idiot ce que j'ai écrit. Ce n'est pas parce que la suite d'éléments de S1 n'a pas de limite dans S1 que l'ensemble n'est pas fermé...

[invite23cdddab]

(que vous appelez S1 ici) est fermé dans , mais pas dans . C'est assez logique car est dense dans (suffit de prendre une suite arbitraire de , et de garder les n premiers termes : les suites sont dans et convergent vers la suite de )

[AncMath]

Oh la la la.
Prend les k premiers terme d'une suite de , je note plutot que ce sont les notations standards.

Alors ici désigne la norme de dans ton espace .
Donc et donc

Ceci étant vrai pour tout , on en déduit que et l'injection est continue. Il y a bien une erreur dans ton bouquin.

[Resartus]

Bonjour,
En fouillant internet J'ai trouvé ceci : http://perso.crans.org/moussa/TD_AR_2.pdf

Le point 1 indique bien qu'il y a toujours inclusion stricte et injection continue entre les espaces de norme p et q >p>=1 (si p est en dessous de 1, ce n'est plus une norme, car l'inégalité triangulaire n'est plus vérifiée)

A noter qu'on retrouve aussi au point 4 les indications de tryss2 pour montrer que l'image est dense.

Bizarre, car Jean VOEGTS est un prof réputé et son cours est très utilisé.