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Comment montrer que cette fonction est injective?

  1. #1
    Kakihara

    Comment montrer que cette fonction est injective?

    Bonjour à tous/toutes, cette communauté me semble sympa et je viens vous poser une question simple.

    Je cherche à étudier la bijectivité de la fonction définie par .

    Je sais qu'il est aisé d'exhiber l'inverse de cette fonction en résolvant l'équation d'inconnue , pour et de vérifier que c'est bien un inverse i.e.
    .

    De même, on peut simplement vérifier que est strictement monotone sur .

    Mais ce qui m'intéresse, c'est examiner l'injectivité de cette fonction :

    Soit .

    .

    Et ici, aussi étrange que cela puisse paraître, je n'arrive pas à conclure. Je sais, c'est idiot...

    Une âme charitable peut-elle m'aider? Sincères salutations et remerciements.

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    Kakihara

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Tiens, une petite erreur de Latex : \iff représente...

  4. #3
    pm42

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Je ne comprends pas : si elle est strictement monotone, tu as le théorème de la bijection qui te permet de conclure immédiatement non ?

  5. #4
    Kakihara

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    En effet, mais je souhaiterais simplement étudier l'injectivité de cette fonction indépendamment du reste.

  6. #5
    duduch74

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Tu as essayé la définition c'est à dire montrer f(x1) = f(x2) => x1 = x2 ou la contraposée x1 =/= x2 => f(x1) =/= f(x2) ?

  7. #6
    Kakihara

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    J'ai essayé la définition, comme écris dans le post original. Je tente la contraposée.

  8. #7
    Médiat

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Bonjour

    Citation Envoyé par Kakihara Voir le message
    .

    et vous pouvez conclure
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  9. #8
    ansset

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    inutile , déjà dit..
    Dernière modification par ansset ; 03/07/2017 à 21h57.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  10. #9
    Kakihara

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Non non, il semble que cette réponse correspond bien à mes attentes.

    D'ailleurs, j'avais aboutit à une conclusion similaire :

    et et en divisant respectivement par et .

    Dieu sait pourquoi je l'ai effacé de mon brouillon, certainement la fatigue.

    Sincères salutations.

  11. #10
    Médiat

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Kakihara Voir le message
    et et en divisant respectivement par et .

    Dieu sait pourquoi je l'ai effacé de mon brouillon, certainement la fatigue.
    Peut-être parce que c'est faux !
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #11
    Kakihara

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Wait mais c'est ça!

    Comment se fait-il que l'on ai et en même temps, par exemple et ...

  13. #12
    ansset

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Citation Envoyé par Kakihara Voir le message
    Wait mais c'est ça!

    Comment se fait-il que l'on ai et en même temps, par exemple et ...
    de fait , on a :
    si alors
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  14. #13
    Kakihara

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Ah oui, on peut très bien avoir par exemple 2*5 - 2*6 = 2*150 - 2*180 donc c'est totalement faux. Mea culpa.

  15. #14
    Kakihara

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    de fait , on a :
    si alors
    C'est comme si on raisonnait par l'absurde en fait :

    Soit tel que .

    , or, ce résultat n'est valable que pour ou sur .

    On aboutit donc à une contradiction, ce qui permet de conclure donc est bien injective sur .

  16. #15
    Médiat

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Comme cela, ça marche.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  17. #16
    Kakihara

    Re : Comment montrer que cette fonction est injective?

    Très bien, merci.

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