Cette fonction est-elle injective?

inviteb50a8754 · 03/12/2015, 15h24

Bonjour à tous,

Je suis bloqué sur cette exercice: La fonction f: [1;+∞[ -> R, x -> x² -2x + 1 est-elle injective?

Pour l'instant j'ai fait ça: f est injective si $\text{[math]}$ x, x' $\text{[math]}$ [1;+∞[², f(x)=f(x') $\text{[math]}$ x=x'

$\text{[math]}$ x, x' $\text{[math]}$ [1;+∞[²
f(x)=f(x') $\text{[math]}$ x² -2x + 1 = (x')² -2x' + 1
f(x)=f(x') $\text{[math]}$ x² -2x = (x')² -2x'

Mais arrivé la je suis bloqué...

Merci d'avance de vos réponses.

invite54a8a072 · 03/12/2015, 15h45

Ta fonction est continue sur [1;+∞[ et un rapide calcul de dérivée te montre qu'elle est aussi strictement croissante sur cet intervalle . donc ta fonction est injective .

**PlaneteF** · 03/12/2015, 15h57

Bonjour,

Envoyé par kasmurdanto

Ta fonction est continue sur [1;+∞[ et un rapide calcul de dérivée te montre qu'elle est aussi strictement croissante sur cet intervalle . donc ta fonction est injective .

Pour l'injectivité, pas besoin d'invoquer la continuité, la stricte croissance suffit.

Cordialement

**gg0** · 03/12/2015, 16h02

On peut aussi poursuivre le raisonnement de Darky199, tout "passer dans un même membre", factoriser x-x' (factorisation évidente puisque x=x' est une solution évidente de l'équation) et finir.
Si Darky est en seconde, montrer la croissance donne un calcul au moins aussi compliqué que ce qu'il a fait (pas de dérivées).

Cordialement.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**PlaneteF** · 03/12/2015, 16h06

Envoyé par gg0

Si Darky est en seconde, (...)

Bonsoir gg0,

L'injectivité demandée en seconde ?! ...

Cordialement

**gg0** · 03/12/2015, 16h08

Ailleurs qu'en France, évidemment.

Sa difficulté à continuer m'a fait penser qu'il pouvait être de ce niveau.

Cordialement.

**PlaneteF** · 03/12/2015, 16h12

Autre façon de voir :

On a $\text{[math]}$ et puisque la fonction carrée est strictement croissante sur $\text{[math]}$ et que sur l'intervalle considéré $\text{[math]}$ est positif, la réponse est immédiate.

Cdt

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