Dérivée du produit de deux fonctions dérivables.

[invite05ccbb13]

Bonsoir,

Soit u,v deux fonctions dérivables sur I. Je veux vérifier par un développement limité à l'ordre 1 qu'en tout x de I, le nombre dérivé de uv soit : u'v + uv'.

Preuve : Comme u et v sont dérivables sur I, elles admettent un développement limité à l'ordre 1 en tout x de I.
D'où, u(x+h) = u(x) + u'(x)h + he1(h)
et v(x+h) = v(x) + v'(x)h + he2(h)
où les fonctions e1(h) et e2(h) tendent toutes deux vers 0 quand h tend vers 0.

On veut montrer que u(x+h)v(x+h) = u(x)v(x) + [u'(x)v(x)+u(x)v'(x)]h + he(h), où e(h) tend vers 0 lorsque h tend vers 0.

Par produit, u(x+h)v(x+h) = (u(x) + u'(x)h + he1(h))(v(x)+v'(x)h + he2(h))
= u(x)v(x) + [u'(x)v(x)+u(x)v'(x)]h + he(h) + h²[u'(x)v'(x)+e1(h)e2(h)]

(avec e(h) = e1(h)(v(x)+hv'(x)) + e2(h)(u(x)+hu'(x)) qui tend bien vers 0).

Que faire du h²[u'(x)v'(x)+e1(h)e2(h)] restant ?
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[gg0]

Ben ... en factorisant h partout où c'est possible, ça rentre dans le e(h). h² est un multiple de h. Et tu verras que ce qui rentre dans e(h) tend bien vers 0.

Cordialement.

[invite05ccbb13]

D’accord, vous voulez dire :

u(x+h)v(x+h) = u(x)v(x) + [u'(x)v(x)+u(x)v'(x)]h + he(h)
;
avec e(h) = e1(h)(v(x)+hv'(x)) + e2(h)(u(x)+hu'(x)) + h(e1(h)e2(h) + u'(x)v'(x)h) (qui tend bien vers 0 car u'(x)v'(x)h tend vers 0).

[gg0]

Tu as trouvé, pourquoi demander confirmation ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite05ccbb13]

Parce que j'aurais pu aussi écrire :

(a) u(x+h)v(x+h) = u(x)v(x) + he(h)
avec e(h) = e1(h)(v(x)+hv'(x)) + e2(h)(u(x)+hu'(x)) + he1(h)e2(h) + u'(x)v'(x)h + [u'(x)v(x)+u(x)v'(x)]h) (qui tend bien vers 0 car u'(x)v'(x)h et [u'(x)v(x)+u(x)v'(x)]h tendent vers 0 quand h tend vers 0).

Et ne pas mettre en évidence u'v + uv' dans l'expression du développement limité.

OU

(b) u(x+h)v(x+h) = u(x)v(x) + [u'(x)v'(x) + u'(x)v(x)+u(x)v'(x)]h+ he(h)
avec e(h) = e1(h)(v(x)+hv'(x)) + e2(h)(u(x)+hu'(x)) + he1(h)e2(h) qui tend bien vers 0.

Et considérer u'v'+ u'v + uv' comme étant la valeur de la dérivée de uv dans l'expression du développement limité.

Voyez-vous mon incertitude ?

[invite51d17075]

bjr,
rien que pour le a) ton nouveau calcul de e(h) est faux.

[gg0]

Si tu tiens à ne pas appliquer la règle .... mais évidemment, ce n'est plus des maths.
Relis sérieusement la définition de la dérivée : Il existe un nombre A tel que pour tout h, f(x+h)=f(x)+Ah+he(h) où e(h) tend vers 0 avec h.

Cordialement.

[invite05ccbb13]

(a) u(x+h)v(x+h) = u(x)v(x) + he(h)
avec e(h) = e1(h)(v(x)+hv'(x)) + e2(h)(u(x)+hu'(x)) + he1(h)e2(h) + u'(x)v'(x)h² + [u'(x)v(x)+u(x)v'(x)]h) (qui tend bien vers 0 car u'(x)v'(x)h et [u'(x)v(x)+u(x)v'(x)]h tendent vers 0 quand h tend vers 0).

Et ne pas mettre en évidence u'v + uv' dans l'expression du développement limité.

Vous dites que c'est faux car on ne fait pas apparaitre de nombre A, tel que pour tout h, f(x+h)=f(x)+Ah+he(h) où e(h) tend vers 0 avec h ?
Si A=0, je peux écrire : pour tout h, f(x+h)=f(x)+Ah+he(h) où e(h) tend vers 0 avec f = u.v et e(h) = e1(h)(v(x)+hv'(x)) + e2(h)(u(x)+hu'(x)) + he1(h)e2(h) + u'(x)v'(x)h² + [u'(x)v(x)+u(x)v'(x)]h).

(b) u(x+h)v(x+h) = u(x)v(x) + [u'(x)v'(x)h + u'(x)v(x) + u(x)v'(x)]h+ he(h)
avec e(h) = e1(h)(v(x)+hv'(x)) + e2(h)(u(x)+hu'(x)) + he1(h)e2(h) qui tend bien vers 0.

Et considérer u'v'+ u'v + uv' comme étant la valeur de la dérivée de uv dans l'expression du développement limité.

Ici je suis d'accord avec vous, c'est faux car A = u'(x)v'(x)h + u'(x)v(x) + u(x)v'(x) n'est pas un nombre réel (puisque A est fonction de h).

[gg0]

Ton calcul du a) est faux, redéveloppe et tu verras (quand tu factorise par h, il n'y a pas d'autre h pour multiplier u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Il ne sert à rien de pinailler quand on calcule faux.

Cordialement.

[invite05ccbb13]

Effectivement, pour le (a) vous avez raison : on ne peut pas le mettre dans e(h). J'ai oublié, on doit multiplier e(h) par h !
Pour (a) je suis d'accord.

Ensuite comment justifier que (b) soit faux ?
(1) Car le nombre A = u'(x)v'(x)h + u'(x)v(x) + u(x)v'(x) n'est pas réel (puisque A est fonction de h) ?
(2) Car dans un développement limité du premier ordre, on a Ah = somme de termes tous multiples de h (au plus).

[gg0]

Dans la définition de la dérivée, A est un nombre dont l'existence est postulée avant de parler de h, donc qui n'en dépend pas. D'ailleurs, que peut vouloir dire que (u(x)v(x))'= u'(x)v'(x)h + u'(x)v(x) + u(x)v'(x) ???