Convergence non uniforme série

[mehdi_128]

Salut,

J'ai besoin d'un indice pour montrer que la série ne converge pas uniformément sur l'intervalle borné [0,1[...

Merci.
-----

[ansset]

bjr,
il te suffit de revoir la définition.
tu as une idée de démo ?

[mehdi_128]

bjr,
il te suffit de revoir la définition.
tu as une idée de démo ?

Je dois étudier le Sup de |Sn-S| ? Où : et montrer qu'il tend pas vers 0 quand n tend vers + l'infini ?

[ansset]

Oui cela revient à regarder le "reste" de la somme. soit

que l'on peut simplifier ( pour N impair par exemple ) par

qui est >= à


ensuite on peut montrer que pour tout eps, et pour tout N, il existe un x(N) suffisamment près de 1 pour que cela soit > eps.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mehdi_128]

J'ai trouvé la limite simple de Sn :



Apparemment l'indication dit qu'il faut utiliser un théorème de double passage à la limite

[ansset]

OK, je ne connais pas !
ou alors pas sous cette détermination.
ps: formule OK pour x diff de 0

[mehdi_128]

Oui cela revient à regarder le "reste" de la somme. soit

que l'on peut simplifier ( pour N impair par exemple ) par

qui est >= à


ensuite on peut montrer que pour tout eps, et pour tout N, il existe un x(N) suffisamment près de 1 pour que cela soit > eps.

Pas compris la dernière phrase...

Sinon :

Donc :

Et là je bloque. Je dois étudier les variations de Sn -S ?

[stefjm]

OK, je ne connais pas !

http://michel.stainer.pagesperso-ora...sSeriesFct.pdf
page 5

[ansset]

Pas compris la dernière phrase...

en plus elle est mal rédigée, elle est sensée être la contraposé de la définition de la convergence uniforme ( donc ce n'est pas pour tout eps )
sinon , oui, tu peux partir de ta formule et montrer que pour tout N tu peux trouver un x qui satisfasse que la norme soit sup à un eps choisi.
@stef:
ton lien est complet mais il n'aide pas directement mehdi ( impression personnelle ).
edit: pas lu la page 5....

[mehdi_128]

OK, je ne connais pas !
ou alors pas sous cette détermination.
ps: formule OK pour x diff de 0

En 0 ça donne 0 donc elle converge simplement vers 0.

Théorème de la double limite :
- un converge
- La série des un converge uniformément

Alors :

Si on applique le théorème de la double limite ici :

Mais ça devrait être égal à :

La série des (-1)^n oscille mais je sais plus si si on dit divergente...

Donc il n'y a pas convergence uniforme

[mehdi_128]

en plus elle est mal rédigée, elle est sensée être la contraposé de la définition de la convergence uniforme ( donc ce n'est pas pour tout eps )
sinon , oui, tu peux partir de ta formule et montrer que pour tout N tu peux trouver un x qui satisfasse que la norme soit sup à un eps choisi.
@stef:
ton lien est complet mais il n'aide pas directement mehdi ( impression personnelle ).
edit: pas lu la page 5....

Y a t-il besoin des epsilon pour étudier sur [0,1[ x^(n+1) / 1+x ? Je suis pas sûr.

Faut que je minore le sup de cette expression qui vaut la norme infinie de Sn + S ....

[stefjm]

@stef:
ton lien est complet mais il n'aide pas directement mehdi ( impression personnelle ).
edit: pas lu la page 5....

Il était pour toi : théorème de la double limite.

[ansset]

OK stefjm, et merci.
@medhi:
tu étais bien parti avec ton post d'avant.
attention ici x <1,
donc justement prend eps <1/2 et tu peux montrer que pour tout N il existe un x(N)<1 tel que la norme de ta diff soit sup à eps.

[Merlin95]

J'ai trouvé la limite simple de Sn :

Bizarre ce résultat non ? (S(1) = 1/2 ?)

[ansset]

non, justement, voir mon mess précédent: valable uniquement pour x < 1 ( strictement )
ce qui est le cas pour son intervalle semi-ouvert.

[ansset]

et x diff de 0 bien sur.

[mehdi_128]

OK stefjm, et merci.
@medhi:
tu étais bien parti avec ton post d'avant.
attention ici x <1,
donc justement prend eps <1/2 et tu peux montrer que pour tout N il existe un x(N)<1 tel que la norme de ta diff soit sup à eps.

bah c'est une limite que x soit < 1 change quoi ? C'est la limite qui vaut 1/2

Je comprends pas votre histoire avec les epsilon, il suffit de trouver un nombre m>0 qui vérifie :

[ansset]

bah c'est une limite que x soit < 1 change quoi ? C'est la limite qui vaut 1/2

Je comprends pas votre histoire avec les epsilon, il suffit de trouver un nombre m>0 qui vérifie :

non, ou alors c'est mal formulé.
car ce n'est pas Sn dans l'absolu, mais Sn(x)


quand à la limite en x=1, c'est inexact..

[Merlin95]

Sinon :

Bizarre, comment trouvez-vous cela ?

[ansset]

c'est pourtant juste !

[Merlin95]

ok au temps pour moi alors.

[Merlin95]

HS : si 0^0 = 1, ca marche aussi pour x = 0 du coup.

[mehdi_128]

non, ou alors c'est mal formulé.
car ce n'est pas Sn dans l'absolu, mais Sn(x)


quand à la limite en x=1, c'est inexact..

Euh : c'est faux ?

Sinon j'ai obtenu après calcul :

Donc la convergence n'est pas uniforme ! Correct ?

[mehdi_128]

@Ansset :

Il n'y a pas besoin d'exclure le cas x=0 !

La série géométrique q^n converge vers 1/1-q pour tout |q| <1 donc même q=0

[stefjm]

Bizarre, comment trouvez-vous cela ?

Série géométrique : https://fr.wikipedia.org/wiki/Série_géométrique

Euh : c'est faux ?

Cette limite est correcte.
Par contre, j'ai l'impression que tu as appliqué le théorème des deux limites sur une série qui ne converge pas uniformément, d'où la contradiction. C'est cela?

Bizarre ce résultat non ? (S(1) = 1/2 ?)

Un peu mais cela s'explique : https://fr.wikipedia.org/wiki/Série_divergente

Il n'y a pas besoin d'exclure le cas x=0 !

La série géométrique q^n converge vers 1/1-q pour tout |q| <1 donc même q=0

Oui, pour la raison signalé par Merlin95.

[ansset]

Cette limite est correcte.
Par contre, j'ai l'impression que tu as appliqué le théorème des deux limites sur une série qui ne converge pas uniformément, d'où la contradiction. C'est cela?
.

non, ou plutôt j'avais mal lu de quel limite il s'agissait.
et oui, parce que cela ne suffit pas à la démo, ( 1 est exclus de l'intervalle d'ailleurs ).
donc de montrer qu'il n'y pas convergence uniforme en partant de la limite en 1 ne me semble pas convenir.
voir la dernière phrase de stef.
il me semblait plus "propre" de prendre un eps ( par exemple 1/4 et pas 1/2) et de montrer que pour tout N , il existait un x ( proche de 1 ) tel que |Sn(x)-S(x)|>eps.
que de prendre la lim en 1.
mais cette démarche est peut être acceptée par ton prof. ( d'où le terme "double limite" ? )

quand à x=0, il suffit de regarder la suite composée de (0)^n

[ansset]

désolé oublions ma remarque sur le cas x=0, puisqu'on convient ( et/ou qu'on peut décider ) que 0^0=1, sachant que 0^k=0 pour k non nul.
donc la somme vaut bien 1.
suis fatigué ce matin.
avec mes plates excuses.

[ansset]

je fini ( promis) avec mes auto-correction.
On peut effectivement conclure en partant de cette "double-limite" ( en N>l'inf et en x>1 ).
( en respectant certainement les critères vus dans le cours )
j'étais pour ma part habitué à démontrer une non convergence absolue en partant de la def de base.

[ansset]

( en respectant certainement les critères vus dans le cours )
.

je précise néanmoins:
la double limite permet de démonter ( ensuite) la non convergence uniforme.
je ne sais pas si cela est considéré comme un "théorème" vu en cours, ou comme une piste pour prouver ensuite ( avec la def ad hoc ) la non convergence uniforme.
tout dépend du cours préalable.

[mehdi_128]

je précise néanmoins:
la double limite permet de démonter ( ensuite) la non convergence uniforme.
je ne sais pas si cela est considéré comme un "théorème" vu en cours, ou comme une piste pour prouver ensuite ( avec la def ad hoc ) la non convergence uniforme.
tout dépend du cours préalable.

C'est un théorème général d'analyse mais ici on peut l'utiliser pour aller plus vite.

Par contre, il faut vérifier que chaque suite (un) converge en 1 : la suite (-1)^n ne converge pas