Problème inéquations (changement de variable et factorisation)

[GlucoMister]

Bonjour, j'ai un petit problème de compréhension qui me bloque dans la résolution d'un exercice dont j'ai la correction. Le voici :

On considère l'inéquation et on demande de la résoudre dans

Voilà jusqu'où je suis allé pour l'instant :

Domaine de définition :



Donc

Voilà pour le domaine.

Passons à la résolution :



On pose :


Cela nous donne :



Discriminant :



Racines :



Et c'est à partir de ce qui va suivre après que je ne comprends plus ce qui est fait dans la correction... :

En fait là ce qui va se passer, c'est que l'on va factoriser l'expression obtenue avec le changement de variable grâce aux deux racines :

(1)

Voilà, cependant j'y vois déjà un léger problème, c'est que on utilise alors que est inférieur à 0, il ne remplit donc pas la condition du changement de variable, ne devrait-on pas ne pas pouvoir l'utiliser ?
Passons...
Et c'est à l'étape qui va suivre que je vais voir ce qui constitue pour moi le gros problème :

(1)

De fait, on a effectué le changement de variable dans l'autre sens ici, (sens inverse). Cependant, bien que le est bel et bien redevenu les racines ne devraient-elles pas, elles aussi, effectuer le même changement de variable ? On aurait donc, au lieu d'avoir ce qu'il y a au-dessus :



Malheureusement, il y aurait là aussi un problème, du fait que , le premier "" serait impossible. Je serais donc tenté de ne pas considérer étant donné qu'il ne répond pas aux conditions du changement de variable et ainsi de ne considérer que . Et là je suis perdu... Bref, je ne comprends pas la correction.

PS : dans la correction, pour résoudre l'inéquation on finira par faire un tableau de signes :


On trouve ainsi :

En attendant vos réponses, merci.
-----

[gg0]

Bonjour.

la condition X>0 n'est pas utile à ce niveau, puisque on en est à factoriser le polynôme X²-Xexp(2)-1, dont X1 est bien une racine. la factorisation étant valable pour tout X sera aussi valable pour seulement X>0.
Même chose pour la suite. Quel changement de variable serait à faire sur les racines d'un polynôme qui est toujours le même, mais où on réutilise la valeur de X ?

mais tu peux utiliser le signe du polynôme, pour en déduire les valeurs de X qui conviennent, puis en déduire celles de x. Tu trouveras le même résultat (il y a un ln dans la valeur de x de ton tableau).

Cordialement.

[GlucoMister]

Merci beaucoup !
J'ai l'impression de m'être embrouillé l'esprit pour pas grand chose, tantôt considérant comme un polynôme, tantôt essayant d'appliquer les conditions de sur et .
En fait on a seulement re-transformer en : une simple histoire de notation. Ce que je trouvais bizarre alors était qu'en fait on faisait apparaître le tout comme si X1 et X2 étaient racines. C'était du moins mon impression. Je ne sais pourquoi mais, dans ma tête, le dans les parenthèses s'apparentait à un et l'expression était alors une sorte de polynôme (ce qui est faux) que l'on factorisait en faisant : alors les racines du "vrai" polynôme étaient les mêmes que les racines de l'expression avec exponentielles, comprenez mon étonnement .
Ainsi, je viens de me rendre compte qu'en réalité, la vraie et unique racine de est .