Peut-on "brute forcer" des formules mathématiques ?

[Médiat]

Mais d'après Médiat il serait même possible d'en trouver un à une seule variable, ce qui est intéressant.

Je n'ai jamais écrit cela, le polynôme à 26 variables donne tous les premiers, ce que je dis (et c'est trivial) c'est qu'il existe un polynôme (et même plusieurs) a une variable donnant autant de nombre premier que l'on veut, liste choisie à l'avance (y compris tous les nombres premiers connus aujourd'hui) ; il est impossible qu'un polynôme à une variable P(x), soit tel que P(n) soit le nième nombre premier (cela serait contradictoire avec la distribution des nombres premiers)
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[geometrodynamics_of_QFT]

Pour que le rapport soit de un million, je conjecture que x doit être plus grand que le nombre de photons dans l'Univers.

[Meiosis]

On sait depuis le 19ème siècle ce qu'on appelle le théorème des nombres premiers, qui dit que le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x est noté et vaut asymptotiquement , c'est-à-dire que AU MOINS un nombre sur 60 est un nombre premier, jusqu'à 10^26.
(1 nombre sur 4 est premier jusqu'à 100 : 100/ln(100)~25)

Oui mais quand on arrive dans des nombres encore plus grands l'écart entre deux nombres premiers peut facilement être de plusieurs millions, l'écart c'est environ ln(n) d'ailleurs. Du coup pour 10^26 c'est ln(10^26) qui vaut effectivement 60. Mais pour un n très très grand ça peut vite monter.
Alors je ne sais pas à combien on en est avec le plus grand nombre premier actuellement connu, je pense que le n doit être largement supérieur à 10^26 mais pas assez pour qu'il soit de l'ordre du million en effet, ni même de 10 000 j'imagine.
Mais même pour trier parmi 60 c'est déjà compliqué si le polynôme sort, disons, 50 non premiers pour 1 premier. Les tests de primalité sur des nombres très grands sont longs à mettre en place.

Je n'ai jamais écrit cela, le polynôme à 26 variables donne tous les premiers, ce que je dis (et c'est trivial) c'est qu'il existe un polynôme (et même plusieurs) a une variable donnant autant de nombre premier que l'on veut, liste choisie à l'avance (y compris tous les nombres premiers connus aujourd'hui)

J'avais alors mal compris.
Quand vous parlez d'un polynôme, ce n'est pas un simple fit j'imagine ?

[geometrodynamics_of_QFT]

Alors je ne sais pas à combien on en est avec le plus grand nombre premier actuellement connu, je pense que le n doit être largement supérieur à 10^26 mais pas assez pour qu'il soit de l'ordre du million en effet

Quoique?
Le plus grand premier connu à ce jour est 2^274,207,281 − 1, c-à-d un nombre de 22,338,618 chiffres, donc aux alentours de 10^22000000.
(Le nombre de photons dans l'univers est 10^89, au passage j'étais à l'ouest quand j'ai dit ça )

Donc Ln(10^22000000), ça fait..."infinity'' d'après la calculette Google
Non mais à mon avis, on doit avoir dépassé la région où il y a un premier tous les millions de nombres non?

[Meiosis]

Quand je parlais de ln(n) n désigne le nième nombre premier et pas le nombre premier lui-même.

Mais je viens de me rendre compte que j'ai sans doute tort, quand on parle de ln(n) n doit désigner le nombre premier lui-même non ?

[geometrodynamics_of_QFT]

Quand je parlais de ln(n) n désigne le nième nombre premier et pas le nombre premier lui-même.

Mais je viens de me rendre compte que j'ai sans doute tort, quand on parle de ln(n) n doit désigner le nombre premier lui-même non ?

a) nombre de nombres premiers plus petits ou égaux à n : avec

b) proportion de nombre premiers parmi les n premiers nombres :

c) nombre statistique de nombres non-premiers pour un nombre-premier :

n est le nombre (premier ou non) auquel on s'arrête pour compter le nombre de nombres premiers qui lui sont inférieurs.
Il ne s'agit en tout cas pas du nème nombre premier, car pour cela, il faudrait une formule qui donne le nième nombre premier
Je veux dire...on ne sait pas passer du nombre premier à son numéro d'ordre dans la suite des nombres premiers, et inversément...car il nous manque une telle formule.

[invite76e2b617]

Bonjour,

A propos de x/log(x), comment on explique que c'est équivalent au fait qu'a peu prés la moitié des nombres jusque x ont un nombre pair de facteurs premiers et l'autre moitié des nombres ont un nombre impair de facteurs premiers ?
Je sais qu'il y a un lien avec les zéros de la fonction de Riemann mais bon... C'est quelque chose de démontré ? c'est juste une constatation ? Je vois pas trop le rapport en fait...

[invite9dc7b526]

Voir "théorème des 4 couleurs".

je ne suis pas sûr que ça soit un très bon exemple, en tout cas je ne parlerais pas de "brute force" pour décrire la méthodologie d'Appel & Haken. C'est au contraire une démarche très subtile, impliquant par exemple des idées probabilistes.

[gg0]

Pour les plages sans nombre premiers, on peut voir que les nombres successifs suivants sont tous composés :
n!+2, n!+3, n!+4, ...n!+n-1, n!+n

Pour n=1001, on a ainsi 1000 nombres composés successifs, une plage d'au moins 1000 nombres sans nombre premier.

Cordialement.

[geometrodynamics_of_QFT]

Pour les plages sans nombre premiers, on peut voir que les nombres successifs suivants sont tous composés :
n!+2, n!+3, n!+4, ...n!+n-1, n!+n

Pour n=1001, on a ainsi 1000 nombres composés successifs, une plage d'au moins 1000 nombres sans nombre premier.

Cordialement.

Bonjour,

Quel est l'intérêt de répéter exactement ce que j'ai dit dans le message #19 de ce fil?

Il y a un autre truc marrant avec les gaps entre nombres premiers :

Soit N, un nombre entier.

Alors, N!+2 n'est pas premier, N!+3 n'est pas premier, ...N!+N n'est pas premier.
Donc entre N!+1 et N!+N, il n'y a pas de nombres premiers, donc un gap de longueur ~N.

Ce qui est vertigineux, c'est que N peut être...n'importe quel entier je veux dire surtout...aussi grand qu'on veut.

Donc on sait qu'il existe des gaps d'une longueur arbitrairement longue entre deux nombres premiers...

[geometrodynamics_of_QFT]

Bonjour,

A propos de x/log(x), comment on explique que c'est équivalent au fait qu'a peu prés la moitié des nombres jusque x ont un nombre pair de facteurs premiers et l'autre moitié des nombres ont un nombre impair de facteurs premiers ?
Je sais qu'il y a un lien avec les zéros de la fonction de Riemann mais bon... C'est quelque chose de démontré ? c'est juste une constatation ? Je vois pas trop le rapport en fait...

Je ne connaissais pas du tout ce résultat...

[gg0]

Désolé,

j'avais raté ce passage, et Meiosis revenait sur le sujet.

Cordialement.