Equation différentielle à coefficients non constants

invite6c2fd94d · 07/08/2017, 18h14

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide et d'avis pour le problème suivant.

Je souhaite résoudre l'expression suivante:
$A \dfrac{\eta(u)}{u} \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{B}{u^{1/2}} = F$
où $A$ et $B$ sont des constantes connues et $F$ est une constante inconnue selon $x$ .
En isolant la dérivée et en réalisant le changement de variable suivant,
$u^{1/2} = t$

$\dfrac{\partial u}{\partial x} = 2 t \dfrac{ \partial t}{\partial x}$
j'obtiens
$\dfrac{\partial t}{\partial x} = \dfrac{F}{2\eta(t) A} t- \dfrac{B}{2 A \eta(t)}$

Ce qui constitue une équation différentielle du premier ordre à coefficients non constants. En me basant sur un développement du livre "Analyse Mathématique,Tome 1,Eric J.M Delhez", je peux passer de l'équation
$y'+a(x)y = f(x)$
à la suivante
$y(x) = y_0 \; e^{-\int_{x_0}^x a(u) du}+e^{-\int_{x_0}^x a(u) du} \int^x_{x_0}e^{\int_{x_0}^t a(u)du}f(t) dt$
Suivant cette même méthode, j'obtiens finalement:
$t(x) = t_0 \; e^{\int^x_0 \dfrac{F}{2\eta(v) A} dv} - e^{\int^x_0 \dfrac{F}{2\eta(v) A} dv} \int^x_0 e^{\int^v_0 \dfrac{-F}{2\eta(\varepsilon) A} d\varepsilon} \;\dfrac{B}{2 \eta(v)A} \;dv$
Où $t_0$ est connu grâce aux conditions limites.
Afin d'en alléger l'écriture, je définis
$\varphi(x) = \int^x_0 \dfrac{1}{\eta(v)} dv$
et j'obtiens ainsi:
$t(x) = t_0 \; e^{\dfrac{F}{2A}\varphi(x)} -\dfrac{B}{2A} \;e^{\dfrac{F}{2A}\varphi(x)} \int^x_0 e^{\dfrac{-F}{2A}\varphi(v)} \;\dfrac{1}{\eta(v)} \; \;dv$
Voilà où j'en suis, je souhaite à présent obtenir une expression analytique de F en fonction de $t(z_f)$ qui est également connu.
Si cela est impossible analytiquement, est-ce réalisable numériquement ?

Merci d'avance pour votre aide !

**JJacquelin** · 11/08/2017, 10h59

Citation : F est une constante inconnue selon x .
Cela n'a aucun sens. Soit F est une constante, soit F est une fonction de x.
Citation : une expression analytique de F en fonction de t(z_f)
Un mystérieux symbole z_f non défini et qui vient d'on ne sait où !

Equation différentielle à coefficients non constants

Equation différentielle à coefficients non constants

Re : Equation différentielle à coefficients non constants

Discussions similaires

Équation différentielle du second ordre à coefficients non constants

Equation differentielle du 2nd ordre à coefficients non constants

Equation différentielle du second ordre avec coefficients non constants

Equation différentielle à coefficients non constants

équation différentielle à coefficients non constants