ensemble des rationnels r tels que cos(pi*r) soit rationnel

[invite3c819017]

Bonsoir,

M'apprêtant à entrer en classe préparatoire, je me suis entraîné à faire des exercices de transition TS/prépa, trouvés sur le site du lycée louis le grand. Cependant, le pdf que je consulte ne contient pas la solution de tous les exercices proposés et je bloque sur la fin d'un exo. En voici l'énoncé :

On se propose de déterminer les rationnels r tels que soit un nombre rationnel. On considère un tel rationnel r. On écrit :

où , et où la fraction a/b est irréductible. Pour , on pose :
.
a) Pour , exprimer u_k+1 en fonction de u_k .
b) Montrer que, pour tout ,u_k est rationnel. Si on écrit où et la fraction a_k/b_k irréductible, exprimer b_k+1 en fonction de b_k.
c) On écrit . En remarquant que, pour
est une racine 2q-ième de 1, montrer que l’ensemble est fini. En déduire que l’on peut choisir tel que b_k0 soit maximal.
d) En utilisant k₀+1, montrer que b_k0 vaut 1, puis que est entier. Conclure.

Les question a) et b) ne m'ont pas posé de problème. Pour la question c), j'ai montré que est une racine 2q-ième de l'unité, et j'en ai déduit que l'ensemble comportait au plus 2q éléments (et donc il est fini). En revanche, je ne sais pas comment rédiger rigoureusement le choix de k₀. J'ai pensé à utiliser le fait que la suite est croissante car b_k+1=b_k² mais je ne suis pas sûr de moi ..
Enfin, je ne comprends pas comment utiliser k₀+1 dans la question d).

Je vous remercie d'avance de bien vouloir m'éclairer !
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[invite3c819017]

PS : je m'aperçois d'une erreur faite lors du recopiage de l'énoncé : u_k est en fait égal à . De même, c'est qui est une racine 2q-ième de l'unité, et non comme je l'avais écrit !

[Médiat]

Bonjour,

Avec cette correction, c'est plus facile

Choisir k0 dans un ensemble fini ne pose aucun problème

[invite3c819017]

Oui mais pour montrer qu'on peut choisir k₀ tel que b_k0 soit maximal, ne faut-il pas montrer que l'ensemble admet un plus grand élément, et donc qu'il est majoré ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Mais vous avez démontré que c'est un ensemble fini !

[invite3c819017]

Je viens de me rendre compte que la notion d'ensemble fini permet en effet de choisir k0 sans problème, je ne sais pas pourquoi je n'avais pas tout de suite saisi ce que vous vouliez dire. Merci beaucoup en tout cas