Bonsoir,
M'apprêtant à entrer en classe préparatoire, je me suis entraîné à faire des exercices de transition TS/prépa, trouvés sur le site du lycée louis le grand. Cependant, le pdf que je consulte ne contient pas la solution de tous les exercices proposés et je bloque sur la fin d'un exo. En voici l'énoncé :
On se propose de déterminer les rationnels r tels quesoit un nombre rationnel. On considère un tel rationnel r. On écrit :
![]()
où,
et où la fraction a/b est irréductible. Pour
, on pose :
.
a) Pour, exprimer uk+1 en fonction de uk .
b) Montrer que, pour tout,uk est rationnel. Si on écrit
où
et la fraction ak/bk irréductible, exprimer bk+1 en fonction de bk.
c) On écrit. En remarquant que, pour
est une racine 2q-ième de 1, montrer que l’ensemble
est fini. En déduire que l’on peut choisir
tel que bk0 soit maximal.
d) En utilisant k0+1, montrer que bk0 vaut 1, puis queest entier. Conclure.
Les question a) et b) ne m'ont pas posé de problème. Pour la question c), j'ai montré queest une racine 2q-ième de l'unité, et j'en ai déduit que l'ensemble
comportait au plus 2q éléments (et donc il est fini). En revanche, je ne sais pas comment rédiger rigoureusement le choix de k0. J'ai pensé à utiliser le fait que la suite
est croissante car bk+1=bk2 mais je ne suis pas sûr de moi ..
Enfin, je ne comprends pas comment utiliser k0+1 dans la question d).
Je vous remercie d'avance de bien vouloir m'éclairer !
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