Montrer proprement la dérivabilité d'une fonction

[invitec8a4eccf]

Bonjour tout le monde

Alors voilà je pense que cette question relève plus d'une question de recherche de limite du taux d'accroissement.

J'aimerais montrer proprement que la fonction est dérivable sur R+* , c'est-à-dire sans utiliser le fait que le produit de deux fonctions dérivables est dérivable et donc en utilisant le taux d'accroissement.

J'ai le début en passant à l'exponentielle :

et après avec le taux d'accroissement j'arrive à d'où une FI que je ne sais pas lever...

J'ai bien pensé aux DLs en me ramenant en 0 en posant h=x-a ,mais pas moyen d'arriver à lever cette FI...

Merci d'avance pour vos indications,
Florian
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[invitec8a4eccf]

Autant pour moi,
après avec le taux d'accroissement j'arrive à d'où une FI que je ne sais pas lever...

[invite51d17075]

bjr,
tu as déjà "simplifié" un truc dans ta dernière équation. ( a et x )
il est possible ( sans avoir fait le boulot ) de remplacer x par a+h et voir ce que cela donne.

[invitedd63ac7a]

il est possible ( sans avoir fait le boulot ) de remplacer x par a+h et voir ce que cela donne.

puis un DL à l'ordre 1 en 0 permet de conclure pour le limite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

N'est-ce pas gênant d'utiliser un DL à l'ordre 1 pour montrer proprement une dérivabilité?

[invitedd63ac7a]

Dans la construction rigoureuse d'un cours où l'on conçoit de n'utiliser que ce qu'on a démontré avant, oui. Dans ce cas, le problème est de savoir si on peut définir l'exponentielle et le logarithme sans recours à la dérivation ?
Pour un exercice d'école, tout dépend de la consigne ou de ce qu'on appelle "démontrer proprement".
Avec cette restriction, je ne vois pas comment faire ici.

[Médiat]

Bonjour,

N'est-ce pas gênant d'utiliser un DL à l'ordre 1 pour montrer proprement une dérivabilité?

Non, ce n'est pas gênant d'utiliser un DL d'une fonction pour montrer la dérivabilité d'une autre (composée en partie de la première)

[invite51d17075]

Bonjour,

Non, ce n'est pas gênant d'utiliser un DL d'une fonction pour montrer la dérivabilité d'une autre (composée en partie de la première)

j'appuie, d'autant que c'est implicite ici puisque l'on cherche la dérivabilité en première intention.
ici le DL est en h , avant de voir ce qu'il se passe quand a->0....
( ne pas mélanger les deux )

ps : par contre, suis pas sur qu'un DL à l'ordre 1 suffise tj .

[stefjm]

Bonjour,

Non, ce n'est pas gênant d'utiliser un DL d'une fonction pour montrer la dérivabilité d'une autre (composée en partie de la première)

Bonsoir,
Je posais la question dans le sens compris par Eudea et parce que Flo ne voulait pas utiliser de théorème de dérivabilité sur la composition ou produit de fonction.
Du coup, les DLs font un peu marteau pilon. Non?

[Médiat]

Bonsoir,

j'ai utilisé, et c'était maladroit, le mot "composé" dans son sens français et non mathématiques, ce que je voulais dire, c'est que pour montrer la dérivabilité de la fonction originelle en partant de la définition, on se retrouve avec une imite à calculer et qu'il n'y a aucune raison de ne pas utiliser les théorèmes classiques sur les limites, y compris les DL des fonctions connues

[azizovsky]

D'après la règle si on pose alors



or d'après les données ?

[invite23cdddab]

Sinon, il suffit de reprendre la démonstration de la dérivée d'une fonction composée et du produit de fonctions:




Pour la limite de A quand y tend vers x, comme tend vers , c'est la dérivée de la fonction exponentielle au point , soit

Pour la limite de B, on va réutiliser la démonstration de la limite d'un produit de fonctions :



D'où le résultat.


Après, autant utiliser directement les théorèmes plutot que de les redémontrer dans un cas particulier

[invite51d17075]

c'est bien vu !