Dérivabilité d'une fonction

invite8d2d57b3 · 13/09/2015, 12h21

Bonjour,

J'ai un problème sur un exercice sur la dérivabilité d'une fonction et son sens de variation. Voici l'énoncé :
On appelle f la fonction définie sur [0;+∞[ par : f ( x)=√ x/(x+1)
1. Montrer que f est dérivable sur ]0;+∞[ et calculer f '(x ) pour tout réel x>0 .
2. Etudier le sens de variation de f sur [0;+∞[. En déduire que pour tout réel positif x on a :
0 ≤ √ x ≤(x+1)/2

Je ne sais pas comment démontrer qu'une fonction est un intervalle. Pour la question 2 je ne comprends comment je dois faire pour trouver ce résultat

Merci d'avance pour vos réponses! Cordialement.

**gg0** · 13/09/2015, 12h41

"démontrer qu'une fonction est un intervalle" ???
"démontrer qu'une fonction est dérivable sur un intervalle" : les formules de dérivation sont applicables sur certains domaines. Il te suffit de vérifier qu'elles s'appliquent pour toutes les fonctions et calculs qui donnent f, sur l'intervalle considéré. C'est presque immédiat ici (juste voir le cas de la racine carrée). Tu verras pourquoi 0 a été exclu.

Cordialement.

**PlaneteF** · 13/09/2015, 12h55

Bonjour,

Envoyé par camato

On appelle f la fonction définie sur [0;+∞[ par : f ( x)=√ x/(x+1)

La racine carrée elle englobe quoi exactement, que le $\text{[math]}$ ou bien toute la fraction ?

Cordialement

invite8d2d57b3 · 13/09/2015, 13h10

merci je viens de comprendre ! Mais je ne trouve pas le moyen de le formuler correctement :/

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invite8d2d57b3 · 13/09/2015, 13h12

Envoyé par PlaneteF

Bonjour,

La racine carrée elle englobe quoi exactement, que le $\text{[math]}$ ou bien toute la fraction ?

Cordialement

elle englobe uniquement le x

**PlaneteF** · 13/09/2015, 13h32

Envoyé par camato

merci je viens de comprendre ! Mais je ne trouve pas le moyen de le formuler correctement :/

Dans ta justification, tu peux évoquer la fonction $\text{[math]}$ et la fonction $\text{[math]}$

Cdt

**gg0** · 13/09/2015, 13h42

Tu peux aussi le formuler à ta façon, on t'aidera si ça pose problème.

Cordialement.

invite8d2d57b3 · 13/09/2015, 15h14

J'ai donc dis que x+1 est un polynome et est dérivable sur R et que √x est dérivable sur R*+. par conséquent la fonction est dérivable sur R*+.

Est ce que cela convient ?

Cordialement.

**Resartus** · 13/09/2015, 15h35

C'est presque cela : il faut aussi vérifier que x+1 ne sera pas nul sur R*+.

invite8d2d57b3 · 13/09/2015, 15h54

Merci beaucoup ! Pourriez-vous m'aider pour la question 2 ? j' ai réussi sans trop de difficultés à trouver les variations de f ( croissante sur ]0;1] et décroissante sur [1;+∞[ ) mais je ne comprends pas la suite de l'énoncé.

Merci d'avance.

**gg0** · 13/09/2015, 16h39

Fais le tableau de variations. Cherche un rapport avec ce que tu dois démontrer (lien entre √ x ≤(x+1)/2 et f(x) assez évident, non ?).

invite8d2d57b3 · 13/09/2015, 18h53

J'ai cherché et j'avoue ne pas voir le lien entre les 2

**gg0** · 13/09/2015, 19h00

Tu galèges ?

Tu ne vois pas les expressions qui ont servi à construire f(x) dans l'inégalité ? Ouvre les yeux, nettoie tes lunettes, réveille-toi, ... je ne peux pas imaginer qu'on ne voie pas ça. Sauf si on attend qu'un autre fasse le travail pour économiser son cerveau (*).

Allez, tu es intelligent, tu dois l'être aussi en maths.

(*) C'est une mauvaise idée, le cerveau s'use d'autant plus qu'on ne l'utilise pas.

invite8d2d57b3 · 13/09/2015, 19h36

J'ai trouvé le lien entre les deux mais comment le démontrer ? je dois utiliser le tableau de variation?

**gg0** · 13/09/2015, 19h47

Ben ... essaie.

C'est ton exercice, c'est à toi de le faire.

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