Minkowski : genre des vecteurs et corps de base

[mach3]

Bonjour,

Je suis tombé sur un truc marrant en bricolant de la géométrie dans le cadre de la relativité restreinte (espace-temps de Minkowski), c'est surement déjà connu, mais j'aimerais des avis.

Alors, je considérais un vecteur , (reliant deux évènements, A et B) et son carré scalaire, en notant ainsi : , pensant naïvement que r était la norme du vecteur comme en géométrie euclidienne (c'est à dire, et à ce moment là c'était implicite, avant que je me rende compte du problème, que , avec un vecteur unitaire).

En convention de signe (-+++), si est de genre temps, alors et r est alors un imaginaire. Et là j'ai vu le souci... Si , ça ne peut se faire que si le corps de base de l'espace vectoriel sous-jacent est le corps des complexes, pas celui des réels... Pire, on a , avec comme r²<0, un changement de genre entre et !

Bon, alors, je me suis calmé et je suis revenu au corps de réels, et sont donc du même genre et quand on prend le carré scalaire, , selon si celui de u est +1 ou -1, r² étant positif, le genre est espace ou temps. En genre espace on a donc , avec , un vecteur unitaire de genre espace. Et en genre temps , avec , un vecteur unitaire de genre temps.

Cependant, l'égarement précédent m'a interpellé... la multiplication par un nombre imaginaire qui change le genre du vecteur! c'est quand même marrant. A chaud, je vois un lien avec certains écrits où la coordonnée temporelle est imaginaire, mais aussi avec les algèbres de Clifford. Qu'en pensent les matheux?

m@ch3
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[Médiat]

Bonjour,

Qu'en pensent les matheux?

Vous pourriez aussi demander à des mathématiciens.

[Amanuensis]

C'est la notion de vecteur unitaire qui pose problème.

Si est unitaire, alors est aussi un vecteur unitaire (caractérisé par valeur absolu de la norme carrée égale à 1). Avec le corps des complexes, on peut définir la norme comme un réel positif ou nul, et écrire , avec un vecteur unitaire (de norme carré -1), et r un réel positif ou nul.

[Amanuensis]

PS: Avec C comme corps de base, on travaillerait avec un espace de Hilbert, j'imagine. Ou une modification pour admettre des normes nulles pour des vecteurs non nuls?

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Qu'en pensent les matheux?

Aïe aïe aïe...

Bonjour,

Vous pourriez aussi demander à des mathématiciens.

S'il vous plait.

[mach3]

Bonjour,

Vous pourriez aussi demander à des mathématiciens.

Pardon, pour moi ça a une connotation affectueuse, je me confonds en excuse si quelqu'un s'est senti offensé

m@ch3

[Amanuensis]

D'un autre côté, MiPaMa ne participe plus, 0577 n'intervient pas souvent, ...

[Médiat]

Pardon, pour moi ça a une connotation affectueuse, je me confonds en excuse si quelqu'un s'est senti offensé

Pas de problème (pour cette fois ), mais j'ai tendance à considérer que cette appellation est, au mieux, souvent condescendante.

Pour votre problème : j'imagine que lorsque vous parlez de l'espace temps de Minkowski, vous faites allusion à qui est un espace vectoriel réel donc la multiplication par un complexe (sous réserve de lui donner un sens) n'a aucune raison de respecter ce que l'on obtient par la multiplication par un scalaire.

Je vous rappelle aussi que sur cet espace c'est seulement une pseudo norme et non une norme, qui est définie.

[azizovsky]

Au sens de la géométrie de Minkowsky, on a une circonférence de rayon imaginaire ri, au sens Euclidien, il se situe sur l'hyperbole (conjugée)ordinaire à sommets sur le second axe de coordonnées.(x²-y²=-r²)