Récurrence et Implication

[invite1dfc3ff0]

Bonjour, je ne parviens pas à démarrer cette exercice. Pourriez me donner des pistes de raisonnement ?

"Considérons P(n) : x1...x2 < (ou égal) (x1+x2+...+xn)n/n2 , si x1,x2, ..., xn > (ou égal) 0

(J'ai montré que cela était vraie quand n=2)
J'ai également essayé par la récurrence mais le fait que ce soit du rang n vers n-1 me pose problème.

1. En posant xn = (x + ... + xn-1)/(n - 1), prouver que P(n) impliqué P(n-1) lorsque n>1

2. Montrer que P(n) et P(2) impliquent P(2n)

3. Expliquer pourquoi cela entraîne P(n) est vraie pour tout n
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[Médiat]

Bonjour,

Je ne réponds qu'à la question 3 (et sans être très rigoureux, partie que je vous laisse).
On va utiliser ce que l'on appelle une récurrence forte (mal nommée d'ailleurs, elle n'est pas plus forte que les autres).

Soit n > 2
soit n est impair et n + 1 est pair et (n + 1) /2 <= n, donc vous avez P(2) et P((n + 1)/2) donc P(n + 1)
soit n est pair et n + 2 est pair et (n +2)/2 <= n donc vous avez P(2) et P((n+2)/2) donc P(n+2) donc P(n+1)

Note : je ne dis rien sur P(0) ni P(1), à vous de voir