Adhérence des suites périodiques

[invite88e956de]

Bonjour,

Je souhaite déterminer l'adhérence des suites périodiques dans l'espace vectoriel E normé des suites bornées muni de la norme infini.

Je pense que l'ensemble P des suites périodiques est un fermé car on peut facilement montrer que l'ensemble des suites périodiques de période 2,, par exemple est un fermé.

Cependant lorsque l'on passe au cas général on a qui est une union infinie de fermé et qui n'est donc pas fermé.

Par conséquent, auriez vous des pistes qui me permettraient de déterminer l'adhérence de P ?

Merci d'avance pour votre aide,
Besteur
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[invite23cdddab]

Déjà, on peut voir que P n'est pas fermé :

Définissons
e_1 = (1,0,1,0,...)
e_2 = (1,0,0,1,0,0,1,0,...)
...
e_n = La suite de periode n+1 dont les n premiers termes sont 1 et n zéros

Posons maintenant



Cette suite est dans l'adhérence de P comme limite uniforme de sa somme partielle (qui sont periodiques), mais elle n'est pas periodique : le seul zéro de u est .


Maintenant, l'adhérence de P est appelé l'ensemble des suites semi-periodiques. Cet ensemble est défini par la propriété suivante :
Quelque soit , il existe une -semiperiode T tel que quelque soit (m,n) dans N²,

https://projecteuclid.org/download/p...mmj/1028998771