Démonstration d'une formule d'analyse vectorielle ∇x(φâ)=(∇φ)xâ+(φ∇)xâ

[Mr Brightside]

Bonjour,

Je vois des formulaires qui ne précisent pas trop quels sont les objets sur lesquels on travaille ; c'est dans le cadre de la physique que je fais ces calculs, pour me familiariser - je n'ai pas encore fait de l'algèbre tensorielle sérieusement et étudié des objets périphériques en détail.

Je sais cependant quand même que â est un champs de vecteurs et ∇ l'opérateur nabla.
Je viens de démontrer les identités de Green et ∇(φâ)=(∇φ).â+φ(∇.â). Pour cela je suis parti du principe que φâ est le vecteur de composantes de φ multipliées par celle de â.
Ou encore que φ∇ est l'opérateur qui agissant sur un vecteur, va le dériver composante par composante par composante, et multiplier chacune de ces nouvelles composantes par celle de φ correspondante.

φ c'est quoi en langage mathématique? Un champ scalaire? Une forme linéaire qu'on peut appliquer à un vecteur ou à nabla?

Seulement voilà, partant de ces principes, je n'arrive pas à démontrer ∇x(φâ)=(∇φ)xâ+(φ∇)xâ où x désigne le produit vectoriel. Est-ce juste mon calcul sur ce point qui est faux, ou bien j'ai tout faux depuis le début sur ce qu'est φâ ou encore φ∇? Quand je calcule le membre de gauche, puis celui de droite, en coordonnées cartésiennes, je trouve des vecteurs inégaux (Déjà l'objet renvoyé est-il bien un vecteur? Je commence à douter de tout.).

Merci aux personnes qui sauront éclairer ma lanterne.
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[Mr Brightside]

Ah en fait impossible de supprimer mon premier message (ou je ne sais pas comment) si je viens de comprendre mais bon, pour qui tomberait sur ça en en ayant besoin, je crois comprendre que φ s'applique bien aux coordonnées des vecteurs ou opérateurs, et donc dans le cas φ∇xâ c'est bien une fonction qui s'applique au rotationnel de a, donc on a pour chaque coordonnée de rot(a) une composante de φ en facteur. Je vais vérifier que ça marche cependant.

[Mr Brightside]

Quoique du coup il n'y aurait même pas de coordonnées de φ, de composantes à distinguer, c'est une fonction appliquée directement aux coordonnées de vecteurs (et en faisant d'abord agir l'opérateur s'il y a lieu) du genre f(â)=f(ai)ei si ei est un vecteur de base (ça commence à se mélanger ces histoire de dual, de fonctionnelles, j'ai pas fait assez de maths ... )

[azizovsky]

Bonsoir, est une fonction, tu peut écrire la formule rot(fA)=(grad f)xA+f rotA

[A voir en vidéo sur Futura]