Convergence L^p de convolution

**Makmorn** · 11/10/2017, 14h58

Bonjour,

Je n'arrive pas à résoudre cet exercice :

Soit $\text{[math]}$ une fonction continue et bornée, vérifiant :
$\text{[math]}$

Pour tout $\text{[math]}$ , on pose $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ . Étant donné $\text{[math]}$ , on définit le produit de convolution :
$\text{[math]}$ .

Montrer que si $\text{[math]}$ est continue à support compact, alors $\text{[math]}$ uniformément dans $\text{[math]}$ lorsque $\text{[math]}$ .

Pour cela, j'ai introduit une suite de fonctions $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ , et j'ai réussi à obtenir l'inégalité suivante (après un changement de variable) :
$\text{[math]}$ .

J'ai essayé d'utiliser le fait que puisque $\text{[math]}$ est continue à support compact, elle est uniformément continue, puis l'hypothèse $\text{[math]}$ bornée, mais je ne trouve rien d'intéressant a priori, et je suis bloqué.

Quelqu'un peut-il m'aider ? Par avance merci

**JB2017** · 11/10/2017, 17h09

Bonjour.
f est u.continue dc pour tout $\text{[math]}$ , il existe $\text{[math]}$ tel que si $\text{[math]}$ alors pour tout $\text{[math]}$
D'autre part il est facile de voir que $\text{[math]}$
On a donc pour tout x
$\text{[math]}$

Où M est un majorant de f. On continue!
$\text{[math]}$ pourvu que $\text{[math]}$ soit assez petit .
c.q.f.d

**Makmorn** · 11/10/2017, 18h53

Bonsoir,

Merci pour les explications, le début est exactement ce que j'ai fait, par contre je ne comprend pas comment obtenir la dernière inégalité, "pourvu que epsilon soit suffisamment petit".

**JB2017** · 12/10/2017, 05h45

$\text{[math]}$ étant fixé donc $\text{[math]}$ aussi. Ainsi $\text{[math]}$ et aussi grand que l'on veut pourvu que \epsilon soit assez petit.
L'intégrale sur de \phi étant convergente alors l'intégrale pour $\text{[math]}$ est aussi petite que l'on veut si $\text{[math]}$ est assez grand.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Makmorn** · 12/10/2017, 17h42

Pardon, je parlais de l'inégalité d'avant. Quel changement de variable fais-tu ?

**JB2017** · 12/10/2017, 22h59

u=y/\epsilon (si d=1) sinon on adapte

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