Ensemble des parties d'un ensemble

[invite8412d45e]

Bonjour, je suis en train de réviser mon cours sur les ensembles et je suis tombé sur quelque chose de bizarre. J'ai vu quelque part que si un ensemble E contient n éléments, alors P(E) contient 2^n élément.
Je note par la suite V l'ensemble vide. Donc P(V) = {V}. Jusque là, c'est vérifié, car l'ensemble vide ne contient pas d'élément donc P(V) contient un élément.
Ensuite P({V})={{V},V}. C'est encore vérifié.
Mais là P({V,{V}})={V,{V},{V,{V}}}. Il devrait y avoir 4 éléments et non 3. Où est mon erreur ?
Je pensais à P({V,{V}})={V,{V},{{V}},{V,{V} }} mais alors P(V)={V} et P({V})={{{V}},V} ?
Je m'embrouille vraiment là
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[gg0]

Dans les parties de P({V,{V}}), tu as bien oublié une partie à un élément, {{V}}.
Je ne comprends pas d'où sort ton "mais alors P(V)={V} et P({V})={{{V}},V} ?" Pourquoi mézalor ?

Cordialement.

[invite8412d45e]

C'est parce que je suis perdu que je dis des bêtises ^^
Donc dans tous les cas il faut mettre un ensemble contenant tous les élément et l'ensemble vide ?

[gg0]

Pour un ensemble fini, c'est assez simple : Tu prend les parties à zéro éléments (il n'y a que l'ensemble vide), les parties à 1 élément (autant que d'éléments), les parties à 2 éléments, ...

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8412d45e]

Oui mais dans le cas d'un ensemble E={A,B,C}
On a P(E)={V,A,B,C,{A,B},{B,C},{C,A },{A,B,C},}
Ou bien P(E)={V,{A},{B},{C},{A,B},{B,C },{C,A},{A,B,C},}

[invite23cdddab]

Le deuxième choix.

En effet, {A} est inclus dans E, mais A n'est pas inclus dans E (il appartient à E !)

Or P(E) est l'ensemble des "ensembles inclus dans A"

[invitedd63ac7a]

D'une façon générale:
Soit E un ensemble à n éléments, n entier naturel.
Soit u(n)=Card(P(E)), qui note le nombre de parties de E.
u(0)=1
pour calculer u(n+1) il suffit d'imaginer rajouter un élément "a" à E, donc, pour les parties de E, il y a les parties ne contenant pas "a", il y en a u(n), et il y a les parties contenant "a", il y en a aussi u(n). En effet, pour dénombrer ces dernières, il suffit de voir que cela revient à prendre les u(n) parties ne contenant pas "a" et de leur rajouter à chacune "a". D'où u(n+1)= u(n)+u(n).

Donc voici la suite u(n) définie par:
u(0=1
u(n+1) =2u(n) pour tout n entier naturel.

u(n) est une suite ...

[gg0]

Spacecraft,

il faut bien voir le statut particulier de l'ensemble vide qui est toujours à la fois partie et élément d'un ensemble dont il est élément : L'ensemble vide est une partie de tout ensemble. Donc si A={V,....}, P(A)={V, {V}, ...} : V est une partie de tout ensemble, donc de P(A), et V étant un élément, la partie à un élément {V} est un élément de l'ensemble des parties.
Si tu trouves ça compliqué, c'est normal. J'ai fait très attention en l'écrivant, ce n'est pas simple.

Mais il arrive qu'un élément d'un ensemble soit aussi une partie de cet ensemble, sans être l'ensemble vide : Si A={a,b,{a}}, alors {a} est un élément de A, et aussi la partie à un élément a de A. Ce qui est spécifique de l'ensemble vide, c'est que dès que A contient V, même seul, P(A) contient et V et {V}.

Cordialement.

NB : Pour les parties d'un ensemble fini, note plutôt a, b,c, ... les éléments, ou x1,x2,...xn s'il y a exactement n éléments, évite V comme élément, sauf si tu travailles sur les bases et la construction d'ensembles à partir de l'axiome du vide (axiome qui dit qu'il existe un ensemble vide).

[stefjm]

D'où le fameux et classique 2^n pour le nombre des parties d'un ensemble à n éléments.

[invite8412d45e]

Ah d'accord, merci, ça m'a beaucoup aidé, surtout « Or P(E) est l'ensemble des "ensembles inclus dans *E" » ça permet de pouvoir se vérifier assez facilement ^^
La formule de Card(P(E))=2^(Card(E)) est donc vraie !

[invite8412d45e]

C'est vrai aussi que l'ensemble vide est difficile à aborder dans un premier temps mais quand on a compris tout semble plus simple