Intégrales généralisées et convergence

[invitee351071a]

Bonjour,

À propos des intégrales impropres, j'avais une question sur le lien entre intégrabilité au sens de Riemann et convergence de l'intégrale.

En effet, on a : la convergence de l'intégrale n'implique pas l'intégrabilité de la fonction. (ex: sin(t)/t en l'infini)

Mais, est-ce que si la fonction est intégrable au sens de Riemann, alors l'intégrale converge ?

De même pour une série, si la série converge absolument, elle converge tout court ?

Merci de votre aide !
Bonne journée,
Latinus.
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[Resartus]

Bonjour,
Par définition, l'intégrale de riemann ne concerne que des intervalles finis. Donc, même si une fonction est intégrable au sens de Riemann, on ne peut pas conclure sur la limite quand une des bornes tend vers l'infini. Il faut étudier au cas par cas
Par contre, l'absolue convergence d'une série implique la convergence : c'est une démonstration de cours, qu'on fait généralement en utilisant le théorème des gendarmes.