Bonsoir,
Soit E un espace euclidien et f un endomorphisme de E.
J'ai 2 questions :
* Pourquoi si le polynôme caractéristique de f est scindé sur R alors f possède au moins une valeur propre réelle. J'arrive pas à trouver quel théorème du cours utiliser ...
* L'ensemble des endomorphismes symétriques de dimension 1 sont :
J'ai rien compris d'où ça sort.
Et pourquoi ils sont diagonalisables dans une base orthonormée ?
Merci
bonjour,
pour la première question, est-ce que tu ne sais pas ce que signifie scindé ou bien est-ce le lien entre polynôme caractéristique et valeurs propres qui n'est pas clair?
pour la deuxième question je pense que tu devrais réfléchir à ce que peuvent être un endomorphisme et une base orthonormée en dimension 1.
Peut-être même revoir ce qu'est un espace vectoriel de dimension 1.
Cordialement.
Salut mehdi_128,
1) Scindé signifie complètement factorisable en produit de polynômes de degré 1. Celà répond à ta préocupation ?
2) Essaie de prouver qu'un endomorphisme sur un espace de dimension 1 est soit nul soit bijectif (sers toi de la dimension et du théorème du rang).
Du coup la question 1 : le polynôme caractéristique est scindé donc il a forcément des racines mais les racines de polynôme caractéristiques sont les valeurs propres donc l'endomorphisme a forcément une valeur propre.Envoyé par gg0
J'ai trouvé ce qu'est un espace de dimension 1 : dim(F) = 1 alors F est une droite vectorielle et pour tout vecteur u de F on a : F = Vec(u)
Donc les endomorphismes de dimension 1 sont : f(u)=u , f(u)=0 , f(u)=3u ....
Je vois pas le rapport entre montrer que f est bijectif et diagonalisable dans une base de vecteur propre orthonormée.
Après montrer que f est bijectif je sais faire : Ker (f) ={0} et dim(Im(f)) = rd (f) = 1 ou en dimension finie injectif <=> bijectif
Attention,
"alors F est une droite vectorielle et pour tout vecteur non nul u de F on a : F = Vec(u)"
"Je vois pas le rapport entre montrer que f est bijectif et diagonalisable dans une base de vecteur propre orthonormée."
C'est parce que tu n'es pas allé au bout de la démarche de réflexion sur les endomorphismes d'une droite vectorielle, ni ce que veut dire "diagonalisable dans une base de vecteur propre" en dimension 1.
Si f est un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension 1, et i est un élément non nul de E
* trouve une base de E
* soit j=f(i). Trouve l'image d'un élément quelconque u de E. compare f(u) à Id(u), donc f à Id.
* En supposant E muni d'un produit scalaire, trouve une base orthonormée de E.
Cordialement.
Je prends E=R
Alors j'ai : f(i) = a i avec a réel et x réel
La base canonique de R c'est B=(e1) où e1=1
SOit i un élément non nul de E, alors f(i)=j=ai
f(u) = au et Id(u)=u donc :ça m'apporte quoi de comparer f à Id ? Comment montrer que f est diagonalisable ?
La base canonique est déjà orthonormée quel intérêt ?
"Comment montrer que f est diagonalisable ?"
Tu viens de le faire ! Que veut dire diagonalisable ?
Prendre R rend la situation confuse ("La base canonique est déjà orthonormée"), tu peux voir ce que ça donne dans le sev de R² engendré par (1,3) avec le produit scalaire habituel (a,b).(x,y)=ax+by.
Un endomorphisme est diagonalisable s'il existe une base dans laquelle sa matrice est diagonale.
Or la matrice de
Je prends votre exemple : le sev de R² engendré par (1,3) avec le produit scalaire habituel (a,b).(x,y)=ax+by.
Donc je pose :
Pour utiliser votre méthode je vois pas qui est l'endomorphisme f , qui est l'espace vectoriel de dimension 1 E
Déjà une petite erreur :
F=vect{(1,3)}
C'est bien pour ça que F est de dimension 1.
Quant à f, tu prends ce que tu veux.
Mais si tu connais le lien avec les matrices, c'est une évidence !
NB : Revois les cours de base sur les espaces vectoriels.
Les cours de base je les vu et revu 50 fois ça veut pas dire pour autant que je les maîtriser. Pour maîtriser faut pratiquer.
Bah la matrice de f dans une base B=(e1,...,en) c'est l'ensemble des vecteurs colonnes f(e1) .... f(en)
Mais que prendre pour f j'en sais rien. Je vois pas du tout. C'est quoi un endormorphisme de Vect{(1,3)} ?
Puis qu'elle est la base ici ?
Vous me parlez de R^2 du coup je comprends plus rien.
Si tu as "vu et revu 50 fois" les cours de base et que tu en es encore à poser ces questions, c'est que ça ne servait à riehn de "voir", il fallait comprendre. Changer de cours si tu ne comprenais pas.
"Vous me parlez de R^2 du coup je comprends plus rien. " ?? Tu ne sais pas que (R²,+,.) est un espace vectoriel réel ? On parle bien ici d'endomorphismes, donc d'algèbre linéaire. Et tu ne sais pas ce que c'est que Vect{(1,3)} ? Tu ne sais pas que ( Vect{(1,3)}, +, .) est aussi un espace vectoriel ? Car Vect{(1,3)} est un sev de R² !
A ce niveau d'absence de connaissance, ce ne sont pas des exercices sur les endomorphismes symétrique qu'il faut que tu fasse, mais des exercices sur espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels, partie génératrice, partie libre, base. "Pour maîtriser faut pratiquer" Eh bien pratique, on ne peut même pas t'expliquer, tu ne sais rien.
"Mais que prendre pour f j'en sais rien." Drôle de question ! Tu ne t'es pas encore aperçu que ta propre question portait sur n'importe quel endomorphisme symétrique ? Donc que f est quelconque, il a été choisi par quelqu'un d'autre sans qu'il te dise ce qu'il a choisi. Et tu dois te débrouiller avec ça. C'est tout à fait classique en maths ?
Allez, au travail, ton travail.
Je ne sais pas rien faire. J'arrive à comprendre les sujets de niveau CCP j'ai juste pas compris cette partie. Ca peut arriver de bloquer sur quelque chose non ? J'arrive pas à tout comprendre parfois je bloque sur une démo même en la relisant 30 fois pendant 3 heures ça vous est jamais arrivé ?
Je sais que Vect{(1,3)} est un sev de R^2 et Vect{(1,3)} c'est l'ensemble des combinaisons linéaires du vecteur (1,3).
Mais la base orthonormée j'ai rien compris comment trouver une base orthonormée d'un endomorphisme f qu'on connait pas en dimension 1 ?
On a jamais travaillé sur les bases en dimension 1.
" une base orthonormée d'un endomorphisme f " ??? Et tu dis "J'arrive à comprendre les sujets de niveau CCP" ?? Tu lis les corrections ?
En général, quand on ne comprend pas, c'est qu'on n'a pas appris ce qu'il y a à connaître avant. Ici, la phrase que tu as écrite montre bien que tu n'as pas appris le vocabulaire de base, que tu n'as rien compris à ces mots que tu écris.
Désolé, mais ça ne sert à rien de continuer. Apprends vraiment ce qu'est une base et ce qu'est un endomorphisme. Pour l'instant tu mélanges tout. Et apprends aussi comment sont faits les espaces vectoriels de dimension 1. Quand tu vas vraiment apprendre, tu seras effaré de te remire.
