racine de polynôme complexe

[invite7577911a]

Salut,

Je me suis creusé la tête sur un problème qui me semblait simple en première approche mais qui me pose des soucis.. Soit P(z), un polynôme à coefficients réels et de variable complexe z. Montrer que si a appartient à C satisfait P(a) = 0, alors P(u) = 0 avec u, le conjugué complexe de a. J'ai posé P(a)= d0+d1a+d2a^2+...+dna^n = 0. Donc d0 = -d1a-...-dna^n. J'ai ensuite calculé P(u) = d0+d1u+...+dnu^n = d1(u-a)+...+dn(u^n - a^n) et à partir de là je ne sais plus comment continuer. Merci pour votre aide
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[albanxiii]

Bonjour,

Plus simplement, peut-être remarquer que ?

[invite7577911a]

Oui, absolument xd, merci! Mais penses-tu qu'on pourrait résoudre ce problème de la façon dont je l'ai commencé? Sinon, ta réponse me va très bien!
Bonne soirée

[azizovsky]

P(a)=0=0+0i=Re[P(a)]+i.Im[P(a)],...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedd63ac7a]

On utilise directement le fait que l'application conj :z ---> zbarre, est un automorphisme du corps C (est-ce la bonne dénomination ?)
autrement dit (Z1xZ2)barre = Z1barre x Z2barre et (Z1+Z2)barre = Z1barre+ Z2barre.
On applique directement conj à l'équation en question.

[invite7577911a]

Parfait! Merci pour vos réponses.