Racine complexe d'un polynome

[Le Capitaine Jack Sparrow]

Bonjour,

X^4-1 admet quatre racines complexes, e^(ipi/4), e^(i3pi/4), e^(i5pi/4), e^(i7pi/4).

J'aimerais savoir comment on trouve ça s'il vous plait, si vous avez des liens vers des cours disponibles sur le sujet ça serait bien merci.
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[invite184b87fd]

si z dans C est solution avec z = rexp(it) alors z^4 = r^4 exp(4it) = 1
r^4=1 --> r=1
Donc 4t = 0(mod 2π)

donc t = 2kπ/4 avec k appartenant à {1,2,3,4}.

Plus généralement si z^n = 1 alors t =2kπ/n et k appartenant à {1,...,n}

cdt

[Le Capitaine Jack Sparrow]

D'accord, merci pour votre réponse.

Mais par exemple, ici, avec k = 1 on devrait avoir t = 2pi/4, z = 1 * e^(2ipi/4), or on n'a pas ça.

http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00008.pdf
il s'agit du petit 4 de l'exercice 4

[invite184b87fd]

Les racines que tu as donné sont les racines de X^4 = -1 , (par exemple exp(ipi/4)^4 = exp(ipi) = -1

et pour k = 1 on a t = pi / 2 donc exp(ipi/2) ^4 = 1 . Je vois pas ou est le problème

cdt

[A voir en vidéo sur Futura]