Suites et séries de fonctions

[kizakoo]

Bonjour, je travaillais un exo et il y'a deux question auxquelles je n'ai pas su répondre. Voici l'énoncé:

denis1.png
denis2.png

je n'arrive pas à montrer le 2/b et le 2/c , pour la continuité de la fonction f j'ai essayé l'équivalence: f est continue en un point x ssi pour toute suite (xn)n qui tend vers x (f(xn))n tend vers f(x) , mais je parviens pas à "borner" la quantité |f(xn)-f(x)| ...
Pouvez-vous m'aider ?
Merci
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[sleinininono]

salut!

je pourrais te proposer ceci (à vérifier hein mais il y a moyen que ça marche) :

a)
convergence simple évidente

b)
ce qui se passe c'est que ton extraction c'est comme prendre une sous suite de f_n. Donc comme tu sais que les f_n convergent simplement, on va supposer par absurde qu'il existe une sous suite qui ne converge pas vers f.
tu montres alors que c'est impossible au vu de la convergence simple justement.

c)
pour celle là tu écris la définition de continuité. Donc lim de f(xk) est f(x) pour xk tendant vers x. Et donc cela va fonctionner parce que avec la question d'avnat, t'as montré que toutes extractions de f convergeait vers f donc normalement en jouant sur les epsilons ça le fait.

d)
et là puisque f est continue alors tu peux utiliser les histoires de limite pour montrer que partout la distance entre les f_n et f tend vers 0

voila j'espère ça t'éclaire un petit peu!

bonne soirée

[JB2017]

Bonjour
@sleinininono je ne comprends pas du tout ta suggestion (en particulier le 2.b vu que c'est là que @ kizakoo rencontre des problèmes)

Je n'ai pas encore résolu le problème et je ne comprend pas a priori le but de la question 2b.
Ce n'est pas grave, je ne m'en occupe pas pour l'instant puisque ce qui nous intéresse c'est la continuité de f.

Si je veux montrer la continuité de f, pour y arriver, il manque en effet de savoir si les f_n sont bornés uniformément. Plus précisément existe-il une constante M positive tel que pour tout n on a ? (||f ||= norme de la cvu ,i.e le max de |f| sur [0,1]).

Supposons que cela ne soit pas le cas alors il existe une sous-suite
tel que On désigne par un élément tel que

La suite (x_\phi(n)) étant dans le compact [0,1] on peut en extraire une sous-suite (encore notée pour simplifier...) qui converge vers un élément de [0,1] que l'on appelle x. Pour avoir une suite (x_n) qui converge vers x
on pose alors lorquue n n'est pas dans

On a donc la suite qui converge vers x, par hypothèse converge vers mais c'est contradictoire avec le fait que la sous suite converge vers l'infini.

[JB2017]

Bon maintenant on peut s'attaquer à la continuité de f:

pour tout p.

Ainsi avec ce que j'ai fait avant on a



Grâce à la CVS des (f_p) vers f on peut choisir p assez grand tel que et
Je laisse finir c'est facile...

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Je n'ai pas encore résolu le problème

On ne dirait pas. Pour mémoire, le but du forum n'est pas de faire les exercices à la place de ceux qui posent les questions.

[JB2017]

@albanxiii
Qu'est ce c'est cette manière de mettre en doute ce que je dis! Je suis là pour aider mais pas pour ce genre de remarque.
Si je dis que je n'ai pas résolu le problème c'est que je le résous en direct sans avoir écrit quoique ce soit sur le papier. Et si j'ai dit cela c'est pour expliquer que je ne voyais pas
le pourquoi de la question 2.B

Ensuite ce n'est pas mon habitude de donner les solutions mais simplement j'essaye de débloquer la situation. Ici je pense que l'exercice est difficile. Il faut voir que les f_n sont bornés uniformément
et ce n'est pas dans les questions pour aider le poseur.
J'ai donc mis le questionneur sur la voie et il a encore pas mal de travail à faire en particulier la dernière question. Du point de vue pédagogique j'ai respecté les règles de l'art.