Continuité de la norme

[invite1252b142]

Bonjour !
Svp comment peut on montrer que le produit scalaire et la norme, sont des fonctions continues ?
Pour le produit scalaire, je vois un peu comment faire, mais pour la norme, je vois pas !
Merci
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[invite6710ed20]

Bonjour
Soit E un ev muni d'une norme N.
Soit une suite qui converge vers x dans E (au sens de la norme N)
Cela signifie que: tend vers 0.
Ensuite tu majores |N(x_n)-N(x)| grâce à l'inégalité triangulaire et la fin est facile à deviner

Par ailleurs, cela serait bien de montrer comment tu as fait pour le produit scalaire

[invite1252b142]

Pour le produit scalaire, j'ai utilisé un modèle dans l'une des discussions comme référence.

[invite1252b142]

Tu peux m'aider sur un autre exo ?
Voilà :
Soit H un espace de Hilbert. On note H* , l'espace fonctionnelle continue sur H, muni de la norme mutuelle ||f||=sup|f(U)|.
Montrer que ¥ u€H, f u: v---> <v,u> € H* et que ||fu|| H*=||u|| H

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

Est ce que tu peux majorer pour tout ?

Et d'autre part, est ce que tu peux trouver un tel que ?

[invite1252b142]

Non, j'essaie mais je n'y arrive pas

[invite23cdddab]

Tu ne vois vraiment pas par quoi majorer ? Tu n'as pas des millions d'inégalités dans ton cours.

[invite1252b142]

Si si!! Je pense à utiliser l'inégalité de Cauchy où bien triangulaire