Périodicité fonction trigo

[tpscience]

Bonjour à tous,

Comment montrer rigoureusement que la fonction est périodique ?

Sommes-nous obligés de passer par le fait d'admettre la -périodicité de ?

Merci de vos réponses.
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[invitedd63ac7a]

Pour tout x de IR il faut résoudre cos(2x+2T)=cos(2x), T réel positif non nul.
Utilise la formule d'addition de la fonction cosinus.
Utilise le fait que les fonctions cos(2x) et sin(2x) sont linéairement indépendantes dans l'espace vectoriel des fonctions indéfiniment dérivables de IR dans IR.
Résous l'équation et prend pour T la plus petite solution positive non nulle.

[tpscience]

Bonjour,

Ok, mais comment utiliser la linéarité pour résoudre l'équation ?

Merci encore.

[invitedd63ac7a]

As-tu développé le cos(2x+2T) de l'équation ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[tpscience]

Evidemment oui : . Par linéarité tu en déduis quoi ?

[invitedd63ac7a]

Je ne parlais pas de linéarité à proprement dite, mais du fait que les fonctions sin et cos sont linéairement indépendantes : c'est à dire que l'équation pour tout x réel :
cos(2x)cos(2T)-sin(2x)sin(2T)=cos(2x)
donne cos(2T)=1 et sin(2T)=0
équations simultanées qu'il reste à résoudre dans IR...

[tpscience]

Complètement, puisque T est un réel !

Donc T est la première solution non nulle, soit .

Merci beaucoup.

[gg0]

A priori,

la périodicité de cos est une propriété bien plus élémentaire que l'indépendance linéaire de sin et cos. Si on refuse les propriétés élémentaires, en utiliser une nettement moins évidente est assez bizarre !

Cordialement.