Définition du rayon de convergence série entière

[pierreFragile]

Bonjour,

Pour quelle raison a t-on choisit dans la définition du rayon de convergence à savoir d'utiliser la convergence absolue au lieu de la convergence ?

Merci
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[gg0]

Bonjour.

Demande à celui qui a écrit ça, car on trouve bien d'autres définitions (convergence simple, bornitude, ...). D'ailleurs, ici, on peut se contenter de mettre le module sur a_n, puisque r est un réel positif.

Cordialement.

[God's Breath]

Bonjour,

En étant un peu plus constructif : le disque de convergence d'une série entière ne dépend que du module du coefficient a_n.
Définir le rayon de convergence à partir de ce module permet de n'avoir à considérer que des séries à termes positifs pour l'étude desquelles on dispose de méthodes plus nombreuses.

[gg0]

Effectivement,

j'ai surtout vu le questionnement sur la valeur absolue et le "pourquoi on a choisi". Cette définition n'a rien d'obligatoire, elle utilise un "truc" de calcul pour définir ce rayon de convergence; mais c'est le théorème sur la convergence des séries entières qui est au fond la vraie définition du rayon de convergence : Si la série converge pour z0, elle converge absolument pour tout z tel que |z|<|z0|. Ce qui fait que si elle diverge pour un z1, le sup des |z| pour lesquels elle converge existe (c'est le sup d'un intervalle borné) et est appelé rayon de convergence.; Et si elle converge toujours, on prend +oo comme rayon de convergence.
Donc la définition précise de ce rayon n'est pas importante, la compréhension du théorème, des ses conséquences, est le coeur de cette question.

Cordialement.

NB : On a souvent la situation suivante : la série converge pour z0, diverge pour z1 et |z0|=|z1|=r; alors r est le rayon de convergence.

[A voir en vidéo sur Futura]

[pierreFragile]

Merci de votre réponse.

Dans mon cours le prof a donné 3 définitions, celle que j'ai marqué et les deux vers lesquelles vos liens renvoient.
Mais on a pas démontré si elles étaient équivalentes je me demande donc si se sont des caractérisations ou des définitions différentes.
En essayant de les comprendre j'ai l'impression que je passe à côté d'une subtilité.
D'ailleurs pour votre premier lien où la convergence simple est utilisé pour définir le rayon de convergence, à la première ligne qui suit la définition on peut lire:

Si R est le rayon de convergence d'une série entière, alors la série est absolument convergente sur le disque ouvert de centre 0 et de rayon R.

[gg0]

As-tu le théorème que je cite dans ton cours ?

[pierreFragile]

après plusieurs lectures, à priori non je n'ai pas ce théorème dans mon cours, c'est d'ailleurs le point sur lequel je bloque le plus, je ne comprends pas pourquoi la convergence (simple) implique une convergence absolue.

[gg0]

C'est un peu plus compliqué que ça, la convergence simple en z0 implique la convergence absolue seulement pour les z de module strictement inférieur à |z0|. le théorème a une preuve simple, que tu peux trouver sur cette page par exemple. En fait, on prouve par le même moyen que la convergence est normale (si tu connais la notion) sur tout disque centré à l'origine de rayon strictement inférieur au rayon de convergence.
Ces théorèmes donnent du sens à la notion de disque de convergence et de rayon de convergence. Attention, sur le cercle limite, rien n'est sûr.

Cordialement.

[pierreFragile]

Merci de vos réponses.

Ce raisonnement est-t-il bon ?
converge bornée (car tend vers 0) si converge (lemme d'Abel)[/TEX]

[gg0]

Je ne comprends pas la dernière implication.