Les nombres complexes

[Merlin95]

Bonjour,

j'ouvre cette discussion sur les nombres complexes.
Plus précisément sur le passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou géométrique qui sont équivalentes.

On peut montrer effectivement que tout nombre complexe peut être exprimé en gros comme
Pour cela, pas de problèmes, par contre, je ne peux m'empêcher de trouver un peu magique que le produit de deux nombres complexe va s'obtenir en additionnant notamment les arguments des deux nombres. Je veux dire que je trouve un peu miraculeux que le passage à la forme trigonométrique soit "féconde" sur ce point, c'est-à-dire que comme "par hasard" :





Je comprends l'interprétation géométrique que l'on peut en faire, avec des vecteur et la somme de vecteur, des rotations etc. mais tout cela découle notamment de la règle, que j'ai écrit qui se démontre par un calcul qui tombe bien "comme par hasard".

Est-ce qu'on peut montrer ce résultat d'une manière "physique", “naturelle" pour voir que ca ne tombe moins du ciel qu'il m'y parait (encore une fois je n'ai aucun problème à voir ce que tout ca veut dire du point de vue géométrique, ma question est en amont de cela) ?
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[Merlin95]

J'ai trouvé ce document : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00879219/document qui est intéressant, car il pose de bonnes questions.

En fait ma question, porte sur la correspondance entre l'algèbre et la géométrie, qui apparait assez de manière assez incompréhensible.

PS : ma question est entre épistémologie et mathématique

[invitef0ba6147]

Commentaires très polémiques d'un profane.

1 En résumé.
- La Géométrie montre et est intuitive.
- L’algèbre démontre et est déductive.

2 Au cours de notre histoire.
- Les grecques découvrent la géométrie
- Les arabes découvrent l’algèbre
- Descartes algébrise la géométrie.

3 Similitude osée...
On peut avoir 2 points vue pour un concept mathématique ( algébrique et géométrique).
C'est comme en physique quantique (corpusculaire et ondulatoire).

4 Question ouverte*: Un concept mathématique n'est pas toujours compris sous ses 2 formes.
- Parfois on maîtrise bien la géométrie et on a du mal à exprimer son ' algébrisme '
- Parfois on maîtrise bien la formule et on a du mal à voir sa géométrie.
Par exemple la formule d’Einstein défini la forme de l'univers et pourtant ne nous pouvons pas l'imaginer topologiquement.

A suivre...

[Merlin95]

Oui c'est bien ca le sujet : comment l'introduction du nombre i tel que (on peut d'ailleurs aussi voir i comme le nombre qui au carré, sensé être positif, rajouté à 1 donne 0), offre de nouveaux outils géométriques. Ca apparait assez fortuit. Je ne sais pas si je ne suis pas platonicien, mais ca pose des questions philosophiques.

A suivre aussi...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef0ba6147]

- Il y a une algèbre 1D sur la droite avec 2 opérations + et *
- Ils ont inventé une algèbre 2 D sur le plan (algèbre complexe) avec 2 opérations + et *
C'est la définition de cette opération multiplication des nombres complexe qui est le point clé (le secret) et qu'il faut bien comprendre.
- Il existe aussi une algèbre de 4D.

[Merlin95]

Oui encore un lien : http://raymond-queneau-villeneuve-as...ID_FICHIER=127

Pour le 4D effectivement, j'ai vu ca avec les quaternions, c'est encore plus "secret".

Mais j'ai l'impression que ma question est quelque part, sans réponse. Il semble qu'il faille accepter la chose telle quelle sans se poser trop de questions.

[invitef0ba6147]

A lire petit à petit .

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_complexe

En fait la * se défini sous la forme polaire du nombre complexe (rayon, angle)

(r1, A1) * (r2, A2) = (r1*r2, A1+A2) Le secret est là !!!!

La forme polaire du nombre complexe ET Une combinaison de la * du 1D pour les rayons et l'addition du 1D pour les angles.

[invitef0ba6147]

Les 4 grands mystères*:
- Le big bang*?
- l'émergence de la vie*?
- Le fonctionnement du cerveau*?
- Les mathématiques*?

[Merlin95]

En fait la * se défini sous la forme polaire du nombre complexe (rayon, angle)

(r1, A1) * (r2, A2) = (r1*r2, A1+A2) Le secret est là !!!!

Oui c'est pour cela que dès le premier message, c'est de cela dont je parle.
Elle se définit comme cela, mais on peut aussi l'obtenir par manipulation algébrique avec seulement , c'est ça qui interroge.
On peut employer des termes passage d'une algèbre 1D à 2D, etc. mais cela ne me semble pas rendre le mystère de pourquoi ca fonctionne.

Les 4 grands mystères*:
- Le big bang*?
- l'émergence de la vie*?
- Le fonctionnement du cerveau*?
- Les mathématiques*?

Oui

[stefjm]

Oui c'est bien ca le sujet : comment l'introduction du nombre i tel que (on peut d'ailleurs aussi voir i comme le nombre qui au carré, sensé être positif, rajouté à 1 donne 0), offre de nouveaux outils géométriques.

A condition d'abandonner la relation d'ordre total. Le sensé être positif n'a pas de sens clair sur les complexes.

Ca apparait assez fortuit. Je ne sais pas si je ne suis pas platonicien, mais ca pose des questions philosophiques.

Pour définir i, on peut préférer plutôt que .
Tout électronicien sent très bien que

[Merlin95]

Le sensé être positif n'a pas de sens clair sur les complexes.

Non mais il faut partir des réels. On a une restriction on part de 1 et on introduit un nombre qui permet de revenir à 0, à partir d'un nombre multiplié par lui-même, ce qui est une restriction sur les réels. C'est une façon de définir i de manière à s'affranchir d'une "impossibilité" sur les réels.

Pour définir i, on peut préférer plutôt que .

Oui mais c'est une conséquence de ce que j'explique. On peut partir de la géométrie pour retomber sur l'algébrique, il n'y a en effet aucun point de vue à privilégier par rapport à un autre, mais c'est plutôt cette correspondance en générale qui reste assez "fortuite".

[Merlin95]

J'ajoute que j'aimerai bien avoir un avis de platonicien. @Stephjm c'est plutôt ton cas non ?

[azizovsky]

il y'a l'idée et le support de l'idée, symboles, mots,..., je conçois physiquement l'idée des nombres complexes, comme une unité de mesure des 'êtres mathématiques 'imaginaires, maniables ' , d'un coté, j'ai des nombres réels, de l'autre coté, j'ai un univers 'imaginaire' qui sont reliée entres eux par une relation(s) mathématique(s), on peut écrire z= a.(1)+b.(p), (on pose p=i ou j , i²=-1, j²=1), comme je suis carreleur , la longueur (l) de mon carreau, je le mesure avec mètre, la largeur (L) avec l'unité p, p est un bout de carrelage (c'est mon unité imaginaire ), je prend n'importe quel carreau, je vais le mesurer dans ma jauge, la relation mathématique entre (1cm) et p est : p=x(1cm), la représentation Z= l (1cm)+L(p= longuer d'un bout de carrelage)=a(1)+b(p) avec :

a :la projection orthogonale sur la longueur de 'ma jauge' de la diagonale (s) d'autre carreau .
b :la projection orthogonale sur la largeur de 'ma jauge' de la diagonale du carreau.

d'après le théorème de Pythagore a²+b²= s² ,

or a et b sont mesurés dans deux 'jauges' différents, donc je doit utiliser la relation entre (1cm) et (p=x(1cm) pour homogénéiser et donner un sens physique à la relation de Pythagore ...
pour les nombres complexes z.zbar= (module (z))²...

[stefjm]

J'ajoute que j'aimerai bien avoir un avis de platonicien. @Stephjm c'est plutôt ton cas non ?

Certains jours, sans doute un peu.

Sur cette exemple, je ne sais pas trop.

Petit, j'ai accepté la multiplication complexe comme une nouvelle définition
(a+i.b)(a'+i.b') = (aa'-bb')+i.(ba'+ab')
Sur le coup, je me suis vraiment dit que c'était trop chelou et pas naturelle du tout comme définition.

Avec le recul, je la trouve naturelle parce que cela colle avec argument et module.

[Médiat]

Bonjour,

Avec le recul, je la trouve naturelle parce que cela colle avec argument et module.

Ne pas oublier que c'est un cas particulier d'une méthode très générale (Cayley-Dickson) qui marche parfaitement

[Merlin95]

J'ajoute que j'aimerai bien avoir un avis de platonicien.

Ou d'un formaliste vu que les deux points de vue sont différents.

[stefjm]

Du coup, avec mon esprit pas normal, je me demande de quels couples ordonnés il faut partir pour obtenir les réels avec la méthode de Cayley-Dickson?

[invite23cdddab]

Sur le coup, je me suis vraiment dit que c'était trop chelou et pas naturelle du tout comme définition.

En même temps, quand tu regardes l'addition pour les rationnels (vu comme un couple d'entiers), c'est pas joli non plus :

(p,q) + (p',q') = (pq'+qp', qq')

[stefjm]

Oui, mais j'avais déjà bien compris la réduction au même dénominateur et cela ne m'a pas du tout paru bizarre.

[stefjm]

En même temps, quand tu regardes l'addition pour les rationnels (vu comme un couple d'entiers), c'est pas joli non plus :
(p,q) + (p',q') = (pq'+qp', qq')

D'ailleurs, à ce propos, que dire du fait que le numérateur d'une somme de fraction est de la même forme que la partie imaginaire d'un produit de complexe?
(a,b) x (a',b') = (aa'-bb', ba'+ab')
(p,q) + (p',q') = (pq'+qp', qq')

Et cela ressemble aussi à un déterminant

de même que la partie réelle du produit :

Pour la pertinence du truc, je sèche...mais je sais quand même que le déterminant établit des liens entre géométrie et algèbre.

[Merlin95]

il y'a l'idée et le support de l'idée, symboles, mots,..., je conçois physiquement l'idée des nombres complexes, comme une unité de mesure des 'êtres mathématiques 'imaginaires, maniables ' , d'un coté, j'ai des nombres réels, de l'autre coté, j'ai un univers 'imaginaire' qui sont reliée entres eux par une relation(s) mathématique(s), on peut écrire z= a.(1)+b.(p), (on pose p=i ou j , i²=-1, j²=1), comme je suis carreleur , la longueur (l) de mon carreau, je le mesure avec mètre, la largeur (L) avec l'unité p, p est un bout de carrelage (c'est mon unité imaginaire ), je prend n'importe quel carreau, je vais le mesurer dans ma jauge, la relation mathématique entre (1cm) et p est : p=x(1cm), la représentation Z= l (1cm)+L(p= longuer d'un bout de carrelage)=a(1)+b(p)

C'est intéressant, on peut ensuite considérer . Avec f une fonction à déterminer.

Et par construction géométrique, on trouve que cette construction, donne quelque chose d'intéressant (la somme des arguments) si
et

[invite82078308]

Il est plus élégant d'exprimer les choses en terme d'exponentielle complexe.
Le point remarquable est alors que l'exponentielle complexe définit un morphisme entre les groupes (ℂ, +) et (ℂ^*, .)

Pour la géométrie, On notera les liens avec les groupes des angles et des similitudes de ℝ² , Pour les dimension supérieures, il n'y a rien d'aussi simple.

[Merlin95]

Il est plus élégant d'exprimer les choses en terme d'exponentielle complexe.

Conséquence de la règle sur l'angle de la multiplication de deux complexes exprimée et démontrée au premier poste, et c'est la correspondance avec la forme algébrique et exponentielle complexe ou la géométrie qui tombe bien comme il faut et qui est interrogé.

[Merlin95]

Par ailleurs, je tiens à remercier Futura-sciences et ses modérateurs qui me permettent d'exprimer et de soumettre ces interrogations, car elles peuvent apparaître un peu à la marge entre mathématiques et philosophie (tout du moins épistémologie).

[invitedd63ac7a]

on peut d'ailleurs aussi voir i comme le nombre qui au carré, sensé être positif, rajouté à 1 donne 0), offre de nouveaux outils géométriques. Ca apparait assez fortuit.

Historiquement les complexes apparaissent fortuitement comme solutions d'équations, Cardan (15e siècle), à travers des manipulations algébriques.
Leur interprétation géométrique apparait très tardivement à la fin du 18e siècle avec Wessel et Argand. On peut se demander pourquoi le fait d'associer au point de coordonnées (x,y) le complexe x+iy n'est pas apparu plus tôt, vu que cela nous parait si évident aujourd'hui ?

[Merlin95]

vu que cela nous parait si évident aujourd'hui ?

Si tel a été le cas, c'est qu'il devait avoir au contraire, des raisons à cela. En ligne avec mes remarques sur ce post, je ne trouve là au contraire rien d'évident. Ou alors disons que c'est très naturel, et c'est ce coté naturel qui interroge finalement.

[azizovsky]

des détails ici : https://youtu.be/BosTQT4smJA?t=261

[Médiat]

Historiquement les complexes apparaissent fortuitement comme solutions d'équations, Cardan (15e siècle), à travers des manipulations algébriques.

Au 16ième siècle, Niccolo Tartaglia, Scipion del Ferro, Rafael Bombelli et Jérôme Cardan ont utilisé les complexes pour trouver les solution réelles de certaines équations ! D'ailleurs les nombres négatifs ont suivis à peu près la même trajectoire (utilisés dans des calculs pour trouver des solutions positives) !

[invitedd63ac7a]

comment l'introduction du nombre i tel que (on peut d'ailleurs aussi voir i comme le nombre qui au carré, sensé être positif, rajouté à 1 donne 0), offre de nouveaux outils géométriques. Ca apparait assez fortuit. Je ne sais pas si je ne suis pas platonicien, mais ca pose des questions philosophiques.

La propriété dont vous faite référence au début fut trouvé algébriquement par A. De moivre en 1707. Elle faisait référence à des propriétés géométriques qui ne furent explicitées que plus tard. Il me semble que l'étude de l'Histoire vous permettra peut-être de répondre à vos interrogations.
On sait que les mathématiciens jusqu'au 19e siècles sont platoniciens : ils découvrent les mathématiques, explorent les propriétés des symboles qu'il manipulent et qui pour eux sont liées au monde qui les entourent. Saccheri, en voulant démontrer le 5e postulat d'Euclide, a exploré profondément les géométries de l'angle aigu et obtus. Bien qu'elles étaient logiquement exactes et en accord avec le postulat de base qu'il avait supposé, il persista à les trouver fausses parce qu'elles étaient en contradiction avec le monde qui l'entourait.
Il est de fait que lorsqu'on étudie les mathématiques jusqu'à un certain niveau, on ne peut que s'émerveiller de voir les interactions entre les différents concepts, interactions, qu'on n'imaginait pas d'emblée et nous ressentons confusément l'existence d'un monde mathématique extérieur à l'humanité dans lequel tout ceci serait planifié à l'avance.
Pour moi, qui ne suis pas platonicien, comme, je pense, la plupart des mathématiciens, c'est une illusion. Les mathématiques dépendent de postulats inventés par l'homme et leurs conséquences obtenues par raisonnement hypothético-déductif, nous restent inconnues parce qu'elles sont compliquée à mettre en évidence : il faut réfléchir parfois longtemps pour les exhiber et on y arrive pas toujours. Or, certaines de ces conséquences sont si simples et évidentes à comprendre qu'elles nous étonnent et nous nous demandons alors d'où viennent cette extraordinaire simplicité et/ou beauté. C'est un peu comme le jeu de la vie de Conway vous partez d'une configuration de départ qui au bout d'un certain nombre de coups débouche sur une image aussi étonnante qu'inattendue.

[Merlin95]

La propriété dont vous faite référence au début fut trouvé algébriquement par A. De moivre en 1707. Elle faisait référence à des propriétés géométriques qui ne furent explicitées que plus tard. Il me semble que l'étude de l'Histoire vous permettra peut-être de répondre à vos interrogations.

J'ai lu pas mal d'éléments historiques, mais la correspondance géométrie-algèbre semble s'être imposée d'elle-même au cours de l'histoire, sans autre justification que "ca marche" et de la beauté/simplicité des mathématiques.

Il est de fait que lorsqu'on étudie les mathématiques jusqu'à un certain niveau, on ne peut que s'émerveiller de voir les interactions entre les différents concepts, interactions, qu'on n'imaginait pas d'emblée et nous ressentons confusément l'existence d'un monde mathématique extérieur à l'humanité dans lequel tout ceci serait planifié à l'avance.
Pour moi, qui ne suis pas platonicien, comme, je pense, la plupart des mathématiciens, c'est une illusion.

Pour moi aussi, mais la "position" platonicienne est parfois tentante. Et je ne suis pas tout à fait convaincu qu'elle ne soit pas un point de vue pertinent.

Les mathématiques dépendent de postulats inventés par l'homme et leurs conséquences obtenues par raisonnement hypothético-déductif, nous restent inconnues parce qu'elles sont compliquée à mettre en évidence : il faut réfléchir parfois longtemps pour les exhiber et on y arrive pas toujours.

Oui il faut simplement reconnaitre que ca marche, que tout cela même si c'est difficile à expliquer, découle de lois géométriques relevant pour le principal de la logique. Il n'y a rien derrière que ce qu'on a sous les yeux et qui est parfaitement logique.

Or, certaines de ces conséquences sont si simples et évidentes à comprendre qu'elles nous étonnent et nous nous demandons alors d'où viennent cette extraordinaire simplicité et/ou beauté. C'est un peu comme le jeu de la vie de Conway vous partez d'une configuration de départ qui au bout d'un certain nombre de coups débouche sur une image aussi étonnante qu'inattendue.

Oui, cette extraordinaire simplicité et/ou beauté découle finalement d'une conservation de la simplicité et beauté des définitions de départ.

A ce propos la remarque de la vidéo postée par azizovsky, sur la multiplication du point (1, 0) par qui donne un point situé à mi-chemin entre 1 et -1, est intéressante.