Les nombres complexes

**stefjm** · 14/01/2018, 19h59

Envoyé par Merlin95

A ce propos la remarque de la vidéo postée par azizovsky, sur la multiplication du point (1, 0) par $\text{[math]}$ qui donne un point situé à mi-chemin entre 1 et -1, est intéressante.

Le cosinus est la valeur moyenne de e^(i.x) et de e^(-i.x).

Une façon naturelle de faire le lien entre géométrie et algèbre est de considérer l'équation différentielle y''+y=0, de polynôme caractéristique p^2+1=0, sans solution dans R alors que les fonctions sinus et cosinus sont solutions. la transformée de Laplace formalise très bien la dérivée avec une multiplication par p.

Un autre lien entre analyse-algèbre et complexe : On peut générer les complexes par quotient de l'anneau des polynômes à coefficients réels par (1+X^2).

Et bien sûr, le lien que vous mentionnez avec les matrices 2x2 de rotation
$\text{[math]}$

Merlin95 · 14/01/2018, 21h03

Je reviens un peu en arrière. Même si je n'ai pas tout à fait le niveau pour comprendre vos références, je ne prétends pas que ce type de "vocabulaire" "produisent" ce sentiment de beauté et de simplicité dans la régularité des mathématiques et autre chose que des faits (réalités) mathématiques. En tout cas pour moi. A mon sens le fait de manipuler ces nombres nous les ont rendu familiers, mais nous cachent aussi (en tout cas pour moi) leur beauté/simplicité.

**stefjm** · 15/01/2018, 09h08

Bonjour,
J'ai un peu de mal à comprendre pourquoi le fait de manipuler des nombres familièrement ou intuitivement nous cacherait leur beauté?
Je suis autant émerveillé par $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ que par $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$

Un point que j'estime très important est la notion d'isomorphisme canonique qui permet d'identifier des objets à priori différents.

http://www.les-mathematiques.net/pho...159#msg-221159

Par exemple, je reconnais un nombre imaginaire de module 1 lorsque je rencontre :
1) $\text{[math]}$
2) $\text{[math]}$
3) $\text{[math]}$

Etc...

**Médiat** · 15/01/2018, 09h12

Bonjour stefjm,

Ce lien m'a fait penser à : http://forums.futura-sciences.com/ep...morphisme.html

**stefjm** · 15/01/2018, 09h49

Intéressant.
J'aurais de quoi lire plus en détail.
Merci Médiat.

Merlin95 · 15/01/2018, 13h42

Envoyé par stefjm

Bonjour,
J'ai un peu de mal à comprendre pourquoi le fait de manipuler des nombres familièrement ou intuitivement nous cacherait leur beauté?

Sans doute car la question que je me pose est enfoui sous un vocabulaire de plus "haut niveau".

J'ai l'impression qu'on s'éloigne du sujet pour ma part, je m'interroge uniquement du fait que le coté algébrique donne une correspondance avec une géométrie intuitive.

**stefjm** · 15/01/2018, 14h11

Il n'y a pas de correspondance aussi facile avec l'algèbre pour toutes les géométries.
En particulier la méthode de Cayley-Dickson ne permet de construire que des algèbres de dimension 2^n.
Il n'y a pas d'algèbre avec les propriété sympathiques habituelles (commutativité, associativité, élément neutre) à mettre en face de (R^3, +, . , produit vectoriel).

Quand je suis platonicien, je me dis que ce défaut doit correspondre à quelque chose dans la nature...

Merlin95 · 15/01/2018, 14h34

Concernant la méthode de Cayley Dickson, effectivement j'ai vu que plus les dimensions 2^n augmentent plus on perd en propriétés sympathiques. C'est rassurant en quelque sorte, le contraire m'aurait encore plus interroger effectivement

, même si moi aussi et comme vous, c'est amusant je comprends que d'un point de vue platonicien on soit amener à se dire que ca reflète la nature.

En tout cas, merci de m'avoir donner vos remarques et point de vue intéressants, ca m'aide à accepter plus facilement le nombre complexe et leur différentes interprétation comme qq chose de plus naturel.

**Médiat** · 15/01/2018, 15h22

Envoyé par stefjm

En particulier la méthode de Cayley-Dickson ne permet de construire que des algèbres de dimension 2^n.

Il n'y a pas d'algèbre avec les propriété sympathiques habituelles (commutativité, associativité, élément neutre) à mettre en face de (R^3, +, . , produit vectoriel).

Ferdinand Georg Frobenius 1877 Dimension finie & Associatives & A division : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Adolf Hurwitz 1898 Dimension finie & Normées & A division : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Max Zorn 1930 Dimension finie & Alternatives & A division : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Stanislaw Mieczyslaw Mazur 1938 Normées & Associatives & A division : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

M. Bresar, P. Semrl & S. Spenko 2010 Localement complexes & Associatives : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

M. Bresar, P. Semrl & S. Spenko 2010 Localement complexes & Alternatives : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

M. Bresar, P. Semrl & S. Spenko 2010 Localement complexes & Super-alternatives : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

M. Bresar, P. Semrl & S. Spenko 2010 Localement complexes & Super-alternatives & Avec des alt-scalaires : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

A chaque fois, ce sont les seules.

Merlin95 · 15/01/2018, 15h46

Bonjour Médiat,

pourriez-vous préciser ce que vous voulez dire ? Ce sont des exemples d'algèbre avec des propriétés intéressantes, c'est bien cela ?
Je pense que stephjm voulait parler d'algèbre dont on peut faire une interprétation géométrique. Désolé si j'ai mal compris.

**stefjm** · 15/01/2018, 15h57

Envoyé par Merlin95

pourriez-vous préciser ce que vous voulez dire ? Ce sont des exemples d'algèbre avec des propriétés intéressantes, c'est bien cela ?

Ce sont les algèbres de dimension 1 (réel),2 (complexe),4 (quaternion d'Hamilton),8 (octonion),16 (sédenion)

Envoyé par Merlin95

Je pense que stephjm voulait parler d'algèbre dont on peut faire une interprétation géométrique. Désolé si j'ai mal compris.

Oui, et il n'y a pas d'algèbre (avec les bonnes propriété) de nombre pour représenter un point de l'espace euclidien R^3.
Mais il se peut aussi que je n'ai pas tout compris de ce qu'a signalé Médiat.

Par contre, il y a possibilité de définir un produit vectoriel pour les dimensions 3 et 7.
En tant que platonicien, on se dit que 3 est la dimension de l'espace classique et que cela tombe bien et on se demande quel est cet espace de dimension 7!

**Médiat** · 15/01/2018, 15h58

Envoyé par Merlin95

pourriez-vous préciser ce que vous voulez dire ? Ce sont des exemples d'algèbre avec des propriétés intéressantes, c'est bien cela ?

Ce sont des caractérisations d'algèbres à partir de propriétés intéressantes, et elle sont, pour les plus intéressantes données par la méthode de Cayley-Dickson standard (il faudrait vérifier si les 2 autres (avec le ~) ne serait pas données par la méthode de Cayley-Dickson avec une autre valeur du paramètre), donc aucune raison de lui "reprocher" de ne fabriquer que des algèbres de dimension 2^n (en partant de IR)

** J'avais oublié une partie de la citation, je l'ai complétée, ce devrait être plus clair

**stefjm** · 15/01/2018, 16h07

Juste pour signaler que je ne "reproche" rien à la méthode de Cayley-Dickson.

J'avais juste été très surpris d'apprendre que R^3 se laissait moins bien apprivoisé que R^2 ou R^4.

Les liens entre géométrie 3D et algèbre n'ont pas l'air aussi fort que dans le cas pair.

**Médiat** · 15/01/2018, 16h12

Envoyé par stefjm

Juste pour signaler que je ne "reproche" rien à la méthode de Cayley-Dickson.

J'avais bien compris, d'où les guillemets.

Envoyé par stefjm

J'avais juste été très surpris d'apprendre que R^3 se laissait moins bien apprivoisé que R^2 ou R^4.

Les liens entre géométrie 3D et algèbre n'ont pas l'air aussi fort que dans le cas pair.

Il existe quand même les algèbres géométriques.

**stefjm** · 15/01/2018, 16h19

Merci Médiat.
Je ne connaissais pas le terme, juste un ou deux exemples cités dans la page Wikipédia.

**stefjm** · 15/01/2018, 16h23

Envoyé par Merlin95

Je pense que stephjm voulait parler d'algèbre dont on peut faire une interprétation géométrique. Désolé si j'ai mal compris.

J'aime assez les calculs présentés ici : http://images.math.cnrs.fr/longueurs...t-volumes.html

Merlin95 · 15/01/2018, 17h03

Oui c'est intéressant, ca relève effectivement de cette même "régularité" qu'on trouve dans les mathématiques.

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