étude de fonction

[invitec4298d3b]

Bonjour à tous,

Je bloque sur l'énoncé suivant :

On a l'équation différentielle suivante :
, et étant des constantes positives.
Sans résoudre l'équation, en étudiant les variations de et à partir de , montrer que tend vers une valeur limite que l'on exprimera en fonction de et .

Corrigé donné :
à , et
Donc v augmente à partir de tant que donc que
Ensuite ne peut plus croitre car la condition se traduit par

Et alors ? D'après moi on n'a rien prouvé du tout avec cette affirmation...

Je me trompe ?

Merci pour votre aide.
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[invite51d17075]

qu'est ce qui te gène dans cette démo ?
ceci :

Donc v augmente à partir de tant que donc que

.

ou ceci :

Ensuite ne peut plus croitre car la condition se traduit par

ou bien le raisonnement global ?
Cdt

[invite51d17075]

dit autrement
v(t) est strictement croissante tant que

à la valeur

atteinte

et le "système" continue à cette vitesse max.

[invitec4298d3b]

Il s'agit du raisonnement global : pour moi rien n'empêche que soit vraie, et par conséquent rien n'empêche que .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec4298d3b]

dit autrement
v(t) est strictement croissante tant que

à la valeur

atteinte

et le "système" continue à cette vitesse max.

D'accord, mais comment peut-on affirmer que ne deviendra jamais négative ?

[invite51d17075]

l'important est que v(0)=0 donc au début dv/dt =f/m >0.
et dv/dt reste >0 tant que v n'atteint pas la valeur donnée.
à cette valeur dv/dt=0 , et la vitesse reste constante.
l'énoncé( l'équation) n'induit aucun autre facteur qui ferait qu'à ce moment la situation s'inverse.

prenons un exemple équivalent : une voiture roule et le conducteur appuie sur le frein de manière régulière, la voiture fini par s'arrêter ( sans autre facteur ) elle ne se met pas à reculer.

[invite51d17075]

une manière complémentaire de voir les choses. ( même si la démo se suffit à elle même )
dérivons notre équation
m*d²v/dt²=-2k*v*dv/dt
quand dv/dt est nul , la dérivée seconde s'annule aussi ( ainsi que toutes les dérivées successives) il n'y a donc pas de point d'inflexion possible à ce moment pour la vitesse.

[invitec4298d3b]

Montrer qu'une dérivée s'annule en un point donné montre que la fonction étudiée atteint un maximum mais en aucun cas qu'elle reste constante égale à ce maximum sur tout le reste du domaine de définition.

Quand au reste de ton raisonnement, tu me dis que physiquement rien n'implique que la situation s'inverse. C'est un argument fallacieux que je peux par exemple retourner en te disant que "physiquement rien n'implique que la situation ne s'inverse pas".

Bref, merci pour ton temps mais je recherche une preuve mathématique et irréfutable.

[invite51d17075]

et bien relis mon post précédent ( le #7 )

[invite51d17075]

et je n'ai pas parlé de physique avant mais de ton équation mathématique.

[invitec4298d3b]

Ah oui, effectivement le fait qu'il n'y ait pas d'inflexion donne une preuve satisfaisante.

Merci d'avoir résolu mon problème, et bonne journée.

[Merlin95]

C'est amusant cette fonction qui "stagne" à partir d'une certaine valeur .

Mais je ne pense pas qu'il soit possible de définir une fonction "en une seule fois" sur qui devient constante à partir de cette valeur .

A mon sens, la fonction solution ne doit être définie que pour les valeurs de v sur puis "prolongée" sur avec la fonction constante.

En essayant de la résoudre sur Wolfram, il me donne pour :



https://www.wolframalpha.com/input/?...+-+y%5E2+%2B+2

Mais je doute du résultat car en calculant la dérivée y', je trouve une fonction qui s'annule jamais alors qu'elle devrait s'annuler en .

Qu'en pensez vous ? Confirmez-vous ou non que c'est n'est pas une solution analytique exacte de l'équation différentielle ? Si elle ne l'est pas, peut-on obtenir la solution analytique ?

[invite57a1e779]

Bonjour,

Wolfram donne, une solution explicite de l'équation différentielle qui est exacte, et c'est heureux.

Le raisonnement fait prouve que la vitesse augmente tant qu'elle n'atteint pas la valeur , mais il ne prouve pas que cette valeur est atteinte en un temps fini…

Dans l'exemple inverse de la voiture dont le conducteur appuie en permanence sur le frein, si le mouvement du véhicule était régi par une équation différentielle du type proposée, la voiture ralentirait indéfiniment sans jamais s'arrêter : elle conserverait toujours une vitesse résiduelle.
Les solutions mathématiques sont idéales (absence de frottement, …)

D'autre part donne la vitesse en fonction du temps, donc , c'est en fonction du temps, don l'annulation n'est pas attendue pour , mais pour , et tu peux vérifier que ne prend jamais cette valeur.

[invite51d17075]

exact, oubli malencontreux de ma part !

[Merlin95]

Effectivement, j'ai fait une confusion entre la valeur limite de V et le temps auquel on atteint cette valeur (j'ai induit à tord que les deux seraient finis).

[Merlin95]

Merci pour la clarification.

[stefjm]

l'important est que v(0)=0 donc au début dv/dt =f/m >0.
et dv/dt reste >0 tant que v n'atteint pas la valeur donnée.
à cette valeur dv/dt=0 , et la vitesse reste constante.
l'énoncé( l'équation) n'induit aucun autre facteur qui ferait qu'à ce moment la situation s'inverse.

Cela suppose qu'il y a stabilité asymptotique, ce qui n'a rien d'évident à priori: il faut regarder de près.
Je comprend tout à fait les doutes de ayswen.

Un début de raisonnement consiste à dire que s'il y a un régime établi constant, alors dv/dt=0, et donc que la vitesse limite est de la forme donnée.
Il reste à prouver que ce régime établi existe bien.

Exemple : on pourrait arriver à plein de bêtises avec une équation diff du second ordre sans amortissement, si on suppose un régime établi constant.

prenons un exemple équivalent : une voiture roule et le conducteur appuie sur le frein de manière régulière, la voiture fini par s'arrêter ( sans autre facteur ) elle ne se met pas à reculer.

Ben ça dépend du type de freinage.

[invite51d17075]

mon exemple était trop simpliste en effet et peut prêter à interprétation.
j'aurai du d'ailleurs prendre plutôt comme analogie la chute d'un corps avec resistance de l'air ou on a un "frein" du même ordre en -kv² qui conduit à une vitesse limite théorique.