dérivées directionnelles, exponentielles, géodésiques...

[mach3]

Bonjour,

Je crois que j'ai mis le doigt sur quelque chose, que des liens se tissent entre des notions qui n'avaient pour moi que peu de liens, et j'ai besoin de confirmations sinon mon cerveau va exploser
Pour contextualiser, j'étudie la relativité générale en autodidacte et bien qu'ayant un doctorat de physique (pas du tout sur la physique moderne), j'ai arrêté les maths en 2e année de fac (il y a 16 ans), donc je rame un peu.

Je suis en train de lire Gravitation de MTW et je me suis familiarisé avec la notion de vecteur comme opérateur de dérivée directionnelle (ça a eu du mal à rentrer, ça fait 3 fois que je relis les premiers chapitres...).
Par ailleurs je me suis intéressé aux groupes de transformations dans le cadre de la relativité. A force de creuser j'ai fini par accepter le concept d'exponentielle d'une matrice (truc que j'ai trouvé complétement saugrenu au premier abord) et compris son incroyable "puissance" pour fabriquer les matrices de rotation à partir de matrices toutes simples (j'ai reconstruit les fonctions de trigonométrie et les fonctions hyperboliques et retrouver les relations de trigo super facilement avec ça, c'était très amusant et instructif).
Dans ma petite tête, je me suis dit que cette notion d'exponentielle devait être plus générale et s'appliquer en fait à n'importe quoi. Alors j'ai essayé de l'appliquer à un opérateur de dérivée directionnelle, en "inventant" un truc (je dis inventé parce que je ne l'ai pas encore vu écrit quelque part et je me suis donc inspiré de l'exponentielle sur les matrices) :

(avec Id l'opérateur identité)

Fort bien, je l'applique à une fonction :




j'obtiens donc le développement limité au voisinage d'une valeur du paramètre de f, évalué en .

alors là les bras m'en tombent. Les développements limités ont pour source ultime l'application exponentielle?

j'ai trouvé quelques trucs dessus : https://en.wikipedia.org/wiki/Expone...nian_geometry)
cela semble aller dans le sens de ce que je crois comprendre.

Est-ce que je m'égare complétement? est-ce que ça tient debout? quelqu'un pour me donner des débuts d'explications à tout cela?

merci

m@ch3
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[jacknicklaus]

j'obtiens donc le développement limité au voisinage d'une valeur du paramètre de f, évalué en .

alors là les bras m'en tombent. Les développements limités ont pour source ultime l'application exponentielle?

Ton calcul est tout à fait exact. Il n'exige comme hypothèse que l'existence d'un développement en série entière de la fonction.

pour ma part, je suis incapable de te dire si les DL ont pour véritable source l'exponentielle ou l'inverse, ou pas. Mais leur relation spectaculaire est bien là.

j'avais découvert cette relation en potassant la mécanique quantique (l'Aslangul et le Cohen-Tannoudji) où il est fait un gros usage des opérateurs linéaires.

tu peux même calcule de la même manière

et retrouver Taylor.

[Anonyme007]

Bonjour,

Excusez moi de m'incruster dans votre discussion. Je voudrais simplement signaler qu'on a :

au lieu de :

Êtes vous d'accord ?

Cordialement.

[mach3]

@ anonyme007

oui, c'est une faute de frappe dans LaTeX, le f doit être l'extérieur, sinon il s'agirait de l'exponentielle de la dérivée de f, ce qui est tout à fait différent. Si quelqu'un peut corriger, ce serait sympa merci.

Cela dit Jacknicklaus, que je remercie au passage pour sa réponse, met le f à l'intérieur. A voir si c'est correct ou pas...

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

@ anonyme007

oui, c'est une faute de frappe dans LaTeX, le f doit être l'extérieur, sinon il s'agirait de l'exponentielle de la dérivée de f, ce qui est tout à fait différent. Si quelqu'un peut corriger, ce serait sympa merci.

Cela dit Jacknicklaus, que je remercie au passage pour sa réponse, met le f à l'intérieur. A voir si c'est correct ou pas...

m@ch3

non, erreur de recopie de ma part. il faut le sortir.

l'opérateur à exponentier est bien

[invite54165721]

salut mach3

ta formule est juste mais elle ne s'applique pas aux fonctions vectorielles en espace courbe. si tu te plonges dans ton pavé sur la gravitation tu vas rapidement avoir affaire avec les dérivées covariantes. la notion de série de taylor y a un sens.
dans ce fil 0577 donne des
précisions sur ces séries covariantes de taylor.

[azizovsky]

Bonjour, une idée qui peut servir ?

pour toute valeurs de dans le cercle, on montre que la somme de la série

satisfait à l'équation
le développement dans le cercle de

pour n'importe quelle valeur de la constante (même si n'est pas entier)

la fonction est multiforme , on prend la branche régulière , uniforme dans :



pour la dérivation :

pour et



on trouve :



et je médite ....

[stefjm]

A force de creuser j'ai fini par accepter le concept d'exponentielle d'une matrice (truc que j'ai trouvé complétement saugrenu au premier abord) et compris son incroyable "puissance" pour fabriquer les matrices de rotation à partir de matrices toutes simples

Super classique pourtant comme concept.
Tu peux utiliser une matrice pour écrire un système différentiel à coeff constant d'ordre 1 et ramener à cela tout système différentiel à coeff constant.
X'(t)=A.X(t), X vecteur colonne, X' dérivée vecteur colonne. A matrice des coefficients.

La solution de ce système différentiel est donné par l'exponentielle de matrice X0.e^A.t.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Expone...lin%C3%A9aires

C'est aussi très utilisé par la représentation d'état d'un système différentiel :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Repr%C..._d%27%C3%A9tat

Dans ma petite tête, je me suis dit que cette notion d'exponentielle devait être plus générale et s'appliquer en fait à n'importe quoi.

Ça marche en général plutôt bien avec l'exponentielle (toujours bien en fait parce que le rayon de convergence de la série est infini?)

alors là les bras m'en tombent. Les développements limités ont pour source ultime l'application exponentielle?

Le développement de Taylor est ultra simple pour l'exponentielle (tous les coeff à 1), ce qui n'est pas une surprise puisque c'est une définition possible d'exponentielle.

Est-ce que je m'égare complétement? est-ce que ça tient debout? quelqu'un pour me donner des débuts d'explications à tout cela?

Ben, naïvement, je dirais que l'exponentielle est solution des systèmes linéaires et que le développement limité est une linéarisation à l'ordre n?
Bon, tu me connais, je ne suis que matheux, pas mathématiciens pour deux sous...

Cordialement.

[azizovsky]

on 'a aussi : ......

si on pose

[azizovsky]

l'opérateur translation selon l'axe x en MQ est:

[invite54165721]

et en espace courbe etant donné un vecteur v tangent a la variété en un point p il y a une géodésique passant par p dans cette direction. il a aussi un opérateur qui déplace p le long de la géodésique d'une quantité donnée. et elle s'appelle comment?
vous avez trouvé, on la note exp

[mach3]

salut mach3

ta formule est juste mais elle ne s'applique pas aux fonctions vectorielles en espace courbe. si tu te plonges dans ton pavé sur la gravitation tu vas rapidement avoir affaire avec les dérivées covariantes.

c'était sous-entendu mais dans mon post initial f est bien un champ scalaire. J'aurais dû préciser.

la notion de série de taylor y a un sens.
dans ce fil 0577 donne des
précisions sur ces séries covariantes de taylor.

ce fil fait justement parti des influences qui ont porté ma réflexion et amené à créer cette discussion.

m@ch3

[eudea-panjclinne]

Qui a dit que les Mathématiques n'étaient pas magique ?
Les physiciens vous la pratiquent à tour de bras la magie en mathématiques... la blanche bien sûr !

[AncMath]

La solution de ce système différentiel est donné par l'exponentielle de matrice X0.e^A.t.

Presque, .

[stefjm]

Oui. Merci pour la rectification.

[invite54165721]

on a trop tendance en physique a ne considérer les objets qu'on manipule uniquement
via leurs composantes. on dira par exemple que les christoffels dépendent du systeme de
coordonnées utilisé. il m'arrive de le dire aussi. c'est pourtant oublier que la plupart de ces
objets (y compris "l'objet" christoffel) peuvent etre definis intrinséquement sans faire appel
a un systeme de coordonnées.
prenons un espace courbe. une métrique est une forme bilinéaires sur son fibré tangent.
un vecteur tangent en un point p de la variété M? prenez une fonction réelle f sur M
un chemin c(t) de R dans M passant par p pour t = 0, f devient une fonction de t dont la dérivée peut
t = 0 a une valeur donnée, on la note <v,f> un vecteur est par définition une forme linéaire.
et une dérivée directionnelle?
on dit toujours que deux vecteurs tangents en deux points de M n'appartiennent pas a un meme
espace vectoriel. c'est meme pour ca qu'on a inventé la dérivée covariante. on ramene le deuxieme
vecteur par transport parallele vers le premier et on peut en faire la différence.
et pourtant <v2,f> - <v1,f> a un sens et en faisant tendre t vers 0 le long du chemin on obtient une
dérivée qui n'est pas la dérivée covariante mais la dérivée directionnelle toute simple
ces deus dérivées sont définies sans faire appel a une carte de coordonnées.
ce sont des applications bilinéaires sur les champs de vecteurs tangents a M.
et leur différence est l'objet christoffel qui est donc lui aussi défini de maniere intriséque.
on note

[mach3]

Bizarre ça. Source?

m@ch3

[invite54165721]

https://fr.wikipedia.org/wiki/Connex...f%C3%A9rentiel

[invite54165721]

dans le lien que j'ai donné on a une définition formelle de ce qu'est une connexion affine.
j' ai dit que lim (<v(t),f>) - <v(0),f>) / t avait un sens le long du chemin choisi.
et j'ai implicitement supposé que c'était une connexion affine.
est ce le cas?
et si non le gamma reste t il bilinéaire et défini intrinséquement comme je l'avancait?

[AncMath]

Evidemment qu'il y a une connexion tautologique sur le fibré trivial ! Mais le fibré tangent n'est pas trivial en général. Il y a besoin de choisir une connexion par un moyen ou un autre. Et même s'il l'est il n'est en general pas canoniquement trivialisé, il y a besoin de choisir une trivialisation ou une 1-forme à coefficient dans le fibré des endomorphismes de celui-ci.

[AncMath]

J’étais un peu pressé, peut etre que je peux préciser un peu les choses.

Si tu prend un fibré trivial de rang r sur une variété alors il y a une connexion tautologique qui est donnée par la differentielle usuelle. Je précise ici que par fibré trivial j'entend bien LE fibré trivial est pas simplement un fibré trivial i.e un fibré isomorphe au fibré trivial. Autrement dit .

Il est pas idiot d'examiner l'espace de TOUTES les connexions que l'on peut mettre sur et c'est un exercice facile de prouver que c'est un espace affine dont la direction vectorielle est donnée par l'espace des 1-formes à coefficient dans le fibré des endomorphismes de tout aussi trivial que bien sur. Il suffit pour cela de verifier que la différence de deux connexions défini un endomorphisme des sections qui soit linéaire par rapport aux fonctions régulières (ici régulières, c'est continu, ou ou lisse, mais attention pas analytique réel).
Autrement dit une connexion sur s'ecrit où est une matrice de 1-formes.

Bien sur si l'on dispose d'un fibré simplement trivial mais non trivialisé alors tout le blabla précédent reste vrai, mais on ne dispose plus d'une connexion canonique et il faut choisir une trivialisation pour pouvoir appliquer la construction précédente.

Dans le cas général si est un fibré sur muni d'une connexion, alors localement est trivialisable, disons sur un ouvert et on peut appliquer la construction précédente à le que l'on obtient est le symbole de Christoffel de la connexion et il dépend évidement des choix faits.

Dans le cas où est la fibré tangent, on peut toujours choisir localement une trivialisation qui sont donnée par les sur un petit ouvert de carte et on obtient les symboles de Christoffel pour la connexion en question . Bien sur que tout ceci dépend des choix faits, et il y en a beaucoup... enfin, essentiellement un seul mais qui conditionne tous les autres, la carte.

Au passage définir la connexion ou le transport parallèle c'est kif kif, si l'on a l'un on a l'autre.

[invite54165721]

merci pour ces précisions,

en fait je m'intéresse plus particulierement (comme Mach3 je pense) a l'espace riemannien de la relativité générale.
la connexion de Levi Civita y est définie de maniere intrinséque par un théoreme d'existence et d'unicité . Par soustraction avec tout autre connexion affine on obtient une application bilinéaite sur les champs de vecteurs tangents a la variété.
je ne cherche pas des propriétés globeles.
je me restreint au voisinage d'une portion de géodésique entre deux points. quelles seraient les propriétés nécessaires a la deuxieme
connexion pour que les symboles de christoffels soient tous nuls sur le portion de géodésique choisi?
en physique on écrit dans ce cas que par un choix judicieux des coordonnées on peut y annuler les symboles de christoffel. j'aimerais donc trouver une formuletion du genre "il existe nulle sur la géodésique si ......"
un théoreme d'existence donc en fonctions de flots par exemple.
la dérivation le long d'une courbe d'un champ vectoriel ne fait appel qu a une application de R^2 vers M ne peut se passer d'une carte a 4 dimensions?

[AncMath]

Je n'y connais rien en relativité générale, mais deja il me semble que les variétés considérés dans ce cadre ne sont pas riemanniennes justement mais finsleriennes. Bon, mais peu importe.
Du reste je ne comprend pas la question. Si on raisonne localement alors le fibré tangent est trivial et il est evident qu'on peut alors trouver une connexion qui le rende plat. Il suffit de prendre la différentielle usuelle apres avoir choisir n champ de vecteurs partout libres. Bien sur la geodesique choisie ne restera pas une geodesique pour la seconde connexion. Tout comme les droites ne sont pas des géodésiques pour la connexion donnée par où (r,t) sont les coordonnées polaires sur une petite portion du plan.

[AncMath]

Pour le dire de manière sans doute plus parlante, une obstruction à l'annulation locale des symboles de Christoffel c'est la courbure. Mais si tu changes la connexion, alors ca n'est plus la courbure que tu regardes mais la classe de cohomologie de la courbure et celle ci ne dépend que du fibré tangent. Ça n'est pas inintéressant, loin s'en faut. MAIS si tu regarde ce qu'il se passe uniquement localement, alors ça n'a plus aucun intérêt puisque bien sur la cohomologie est triviale localement.

[invite54165721]

je ne change pas la connexion elle reste celle de levi civita. simplement on peut annuler tous les christoffels dans une carte ou la
géodfésique est un segment de droite. c'est pourquoi je cherche un théoreme d'existence qui ne parlerait pas que de carte adaptée
a la question. il doit avoir une formulation intrinseque.

[Anonyme007]

Bonsoir,

Je me permets de m'incruster dans cette discussion :
@alovesupreme :
Tu peux aller voir ici : http://math.univ-lyon1.fr/~frabetti/...eometrieM2.pdf , page : .
Tu lis particulièrement la proposition : .

[invite54165721]

merci
j'ai vu qu'elle dit que la démo est dans un livre que n'est pas en ligne mais sur amazon en cliquant sur la
couverture et en faisant "rechercher dedans" on y a acces.

[azizovsky]

Bonjour, je crois, il y'a aussi le théorème de plongement de Whitney:https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...ent_de_Whitney
si AncMath ou quelqu'un d'autre veut nous dire un mot sur la portée de ce théorème.....(éclaircir les ponts...), merci d'avance.

[invite54165721]

si un tel plongement est toujours possible la difference de deux vecteurs tangents en deux points de la variété a un sens. Translaté au premier point il n'est pas forcément tangent a M mais possede une composante tangente. il y a peut etre des choses intéressantes de ce coté.

[azizovsky]

Théorèmes de Nash plus fines pour notre cas : https://www.youtube.com/watch?v=F7wSqLetdGM