dérivées directionnelles, exponentielles, géodésiques...

[AncMath]

merci
j'ai vu qu'elle dit que la démo est dans un livre que n'est pas en ligne mais sur amazon en cliquant sur la
couverture et en faisant "rechercher dedans" on y a acces.

Le fait que les christoffels puisse s'annuler en un point est évident. Il suffit de changer les coordonnées pour les annuler. Mais ca n'est pas la question que tu posais si ? Je ne l'ai toujours pas comprise.
Notamment quand tu dis que tu ne "changes pas la connexion", pourtant tu écris

je me restreint au voisinage d'une portion de géodésique entre deux points. quelles seraient les propriétés nécessaires a la deuxieme
connexion pour que les symboles de christoffels soient tous nuls sur le portion de géodésique choisi?

Il est bien question de "deuxième connexion" ici. Je ne comprend pas ta question.

si un tel plongement est toujours possible la difference de deux vecteurs tangents en deux points de la variété a un sens. Translaté au premier point il n'est pas forcément tangent a M mais possede une composante tangente. il y a peut etre des choses intéressantes de ce coté.

Ben, non. La transaltion dependra evidement du plongement choisi.
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[AncMath]

je ne change pas la connexion elle reste celle de levi civita. simplement on peut annuler tous les christoffels dans une carte ou la
géodfésique est un segment de droite.

Il n'est pas possible en general d'annuler les symboles de Christoffel sur une carte. Si tu prend un ouvert de carte ou le fibré tangent est trivialisé alors la connexion s'écrit dans la base locale en question comme expliqué plus haut, la courbure est donnée par le carré de la connexion et vaut si ce truc là est non nul, alors impossible en général d'annuler .

[invite54165721]

je reprends quelques points.
les christoffels ne peuvent tous s'annuler au voisinage d'un point. c'est acquis.

je m'intéresse uniquement a la connexion de levi civita.
mais quand on a deux connexions affines leur différence est une application bilinéaire que j'appelerai app de christoffel.
ici la deuxieme connexion affine est la dérivée non covariante dans une carte donnée.
je voudrais voir démontré que si les cristoffels s'annulent en un point p ils s'annulent aussi sur une portion d'une
géodésique (pour la métrique riemanienne donnée) passant par p.
je ne veux pas démontrer qu'il y a nullité dans un voisinage de p. juste dans la direction d'un vecteur tangent a p
sur une longueur donnée sur la géodésique.

[invite54165721]

Edit

je voudrais voit démontré que ce je viens de dire est vrai au moins dans une carte locale autour de p

c'est le cas pour un astronaute qui flotte dans son satellite les christoffels sont nuls pour lui pas pour nous sur
sa trajectoire.

[AncMath]

Ok, je commence à comprendre ce que tu veux faire. Regardons le cas riemannien pour commencer
Tu te donnes X, une variété riemanienne munie de sa connexion de Levi-civita et un point p, et une géodésique passant par p, avec vecteur directeur et tu te demande s'il existe une carte centrée en p, qui envoie la géodésique sur une droite de telle que les symboles de Christoffel s'annulent le long de la géodésique.
La réponse est oui, il suffit de considérer les coordonnées normales données par l'exponentielle au point p. Le transport parallèle le long de la géodésique d'une base orthonormale de (dont le premier vecteur est que tu peux soit normaliser, soit considérer une base orthonormale de son orthogonal) te donne une famille de vecteurs , l'exponentielle te donne alors un isomorphisme d'un petit ouvert de en temps petit sur un petit ouvert contenant p. Dans cette carte, les symboles de Christoffel sont nuls le long de la première droite qui est ta géodésique.

[invite54165721]

Il me manquait en fait la maitrise des coordonnées normales relative a l'exponentielle. le wiki indiquait
simplement qu'elles etaient obtenues grace a l'exponentielle. et tu indiques comment. merci.

[invite54165721]

on est parti de l'anullation possible des christoffels en un point de l'espace temps. c'est une propriété locale.
maintenant on voit que si deux points meme a des années lumiere peuvent etre reliés par une géodésique il
existe une carte ou ils sont nuls tout au long de celle ci.
est qu'il y a un nom en math pour une propriété locale qui peut s'étendtre le long d'une courbe?

[Anonyme007]

Oui, c'est la notion de faisceau si je ne m'abuse.

[AncMath]

on est parti de l'anullation possible des christoffels en un point de l'espace temps. c'est une propriété locale.

C'est pas une propriété locale, c'est même pas une propriété, les symboles de Christoffel dépendent d'un choix, ils ne sont pas défini de manière intrinsèque.

maintenant on voit que si deux points meme a des années lumiere peuvent etre reliés par une géodésique il
existe une carte ou ils sont nuls tout au long de celle ci.

Non! Ma construction précédente elle est locale et marche sur un petit voisinage de la géodésique au point p. L'exponentielle n'a pas de raison a priori de réaliser un isomorphisme sur autre chose qu'un petit ouvert centré en l'origine sur l'espace tangent.

[invite54165721]

on retrouve ta construction dans "gravitation" de Misner (c'est mach3 qui a cité le passage)
il montre qu'en chute libre dans son satellite l'astronaute peut construire une carte ou tout au long de sa chute
les christoffels sont nuls pour lui.
ce n'est pas démontré dans le cadre d'une métrique quelconque mais pour celle dans le quel nous vivons.
par exemple il n'y a pas de boucles temporelles.
je suppose que des propriétés supplémentaires comme l'hyperbolicité globale sont requises.

[AncMath]

Je ne connais pas ce livre aussi je ne sais quelles hypothèses sont utilisées ni la construction qui est faite, mais c'est déjà faux sur le cercle. Il n'y a aucune carte qui contient une géodésique en entier. C'est faux sur le 2-tore également.
Bref il n'est pas impossible que ça fonctionne dans le cas mentionné par les auteurs, c'est même hautement probable. Mais c'est faux en général.
Il n'est pas impossible non plus qu'il recouvrent la géodésique par des ouverts de cartes ou cela fonctionne. Mais en l’état "ma" construction ne peut marcher sur toute la géodésique ne serait ce que pour des raisons de rayon d'injectivité de l'exponentielle. La leur est sans doute différente ou possède des hypothèses additionnelles.

[invite54165721]

comme je l'ai dit précédemment dans notre univers il n'y a pas de boucles temporelles.
le but serait de préciser les conditions imposées a la métrique pour que la propriété citée soit vraie du point de vue matématique.
d'autant plus qu elle vraie dans notre monde réel et qu'on ne vit pas sur un cercle.
je vais rechercher le lien indiqué par mach3

[AncMath]

Je ne sais ce qu'est une boucle temporelle. J'imagine que ce sont certaines géodésiques fermées. De ce que je crois connaitre de relativité les points matériels non soumis à des forces suivent des géodésiques de l'espace temps. J'imagine qu'on interdit à ces géodésique d'avoir des points doubles. Cela exclut les variétés compactes.
Le comportement d'une géodésique en temps long peut être compliqué. Je doute qu'on puisse trouver une caractérisation simple qui ne soit pas trop tautologique.

[invite54165721]

la construction est page 327 paragraphe 13.6 du Gravitation de Misner et al
on peut y avoir acces en cliquant dans amazon sur sa couverture et en recherchant dedans
sinon sur scribd mais je n'ai pas essayé.
la condition est peut etre l'hyperbolicité globale de l'espace temps (a gooler)

[mach3]

Je ne connais pas ce livre aussi je ne sais quelles hypothèses sont utilisées ni la construction qui est faite, mais c'est déjà faux sur le cercle. Il n'y a aucune carte qui contient une géodésique en entier. C'est faux sur le 2-tore également.

si je ne m'abuse, pour la sphère, les cristofels sont nuls le long de l'équateur dans le système de coordonnées latitude-longitude.

m@ch3

[invite54165721]

Il n'y a aucune carte qui contient une géodésique en entier. C'est faux sur le 2-tore également.
Bref il n'est pas impossible que ça fonctionne dans le cas mentionné par les auteurs, c'est même hautement probable. Mais c'est faux en général.
Il n'est pas impossible non plus qu'il recouvrent la géodésique par des ouverts de cartes ou cela fonctionne. Mais en l’état "ma" construction ne peut marcher sur toute la géodésique ne serait ce que pour des raisons de rayon d'injectivité de l'exponentielle. La leur est sans doute différente ou possède des hypothèses additionnelles.

ici je ne parlais pas de géodésique en entier mais de portion de géodésique (du genre temps) reliant deux événements
pourrais tu en dire plus sur le rayon d'injectivité de l'exponentielle? il se peut que dans le modele utilisé ici il y aie
des suppositions qui font qu'il n'y a pas de limitation pour l'injectivité.
dans les exemples donnés le tore ou la sphere, une géodésique peut revenir a son poin de départ par l'exponentielle
les hypotheses d'hyperbolicité font que n'est pas possible pour les trajectoires suivies par un corps en chute libre.
il ne repassera jamais par l'événement de sa naissance.

[AncMath]

si je ne m'abuse, pour la sphère, les cristofels sont nuls le long de l'équateur dans le système de coordonnées latitude-longitude.

m@ch3

Oui, mais ca ne contredit pas ce que je dis. L’équateur sur la sphère est bien contenu dans une carte de la sphère. Ça n'est pas le cas sur le cercle, où l'"équateur", le cercle tout entier, n'est pas contenu dans une carte du cercle.

pourrais tu en dire plus sur le rayon d'injectivité de l'exponentielle? il se peut que dans le modele utilisé ici il y aie
des suppositions qui font qu'il n'y a pas de limitation pour l'injectivité.

L’exponentielle réalise un isomorphisme d'un voisinage de 0 dans l'espace tangent en un point donné sur un petit voisinage de ce point, par le théorème d'inversion locale : sa différentielle est l'identité (quitte à identifier l'espace tangent en 0 à l'espace tangent, à l'espace tangent lui même).
Le rayon d'injectivité de l'exponentielle en un point p est le diamètre de l'ouvert maximal sur lequel l'exponentielle est un isomorphisme.
SI tu prend le quotient d'un n-espace hyperbolique standard par un sous groupe discret d'isométries de celui ci tu auras typiquement des rayon d'injectivités finis. Apres je ne sais pas quel sens tu donnes à hyperbolique dans ton contexte, j'imagine que ça n'est pas simplement uniformisé par un espace hyperbolique standard. Puis encore une fois, ici je suis dans le cadre Riemannien pas Finslerien.

[AncMath]

Il n'est pas impossible aussi que dans le bouquin en question ils s'autorisent à se placer sur le revêtement universel de la variété en question, qui a une structure Riemannienne canonique des que la base en a une, celle qui rend la projection isométrique, ou qqch du même tonneau.
Sur le tore par exemple, aucune carte ne contient l'image d'une droite de pente irrationnelle mais ça n'est pas une problème sur son revêtement universel.

[invite54165721]

dans ce lien en anglais on définit ce que sont des feuilletages et ce qu'est un espace globalement hyperbolique.
en gros dans ce type d'espace temps on peut découper des "tranches" temporelles que ne peuvent couper une lignr temporelle qu'en un point.
c'est ce que je disais avec l'absence de boucle temporelle.
avec une métrique de signature (+ - - -) en tout point il y a une 4base orthonormale de l'espace tangent avec un vecteur du genre temps et 3 d'espace.
ce n'est donc pas le cas pour une hypersphere.

[AncMath]

Les sphères de dimension paire, en particulier, ne possède de toute façon aucune métrique de signature , c'est le théorème de la boule chevelue.
Je ne comprend pas le sens de ta remarque encore; je n'ai pas dit que les sphères donnaient un contre exemple au théorème mentionné dans Gravitation, dont on ne connait toujours pas l'énoncé d'ailleurs ! Mais à celui que tu as énoncé plus haut.
Bref, tant qu'on aura pas un énoncé de théorème, je ne pourrais pas vraiment dire grand chose d’intéressant.

L'article en question ne contient pas de définition d'hyperbolicité, bon je l'ai trouvé un furetant. Je ne sais pas si cela suffit à garantir le résultat. J'y reflechirai si j'ai un moment.

Ps: attention quand même ce dont parle l'article mentionné n'est pas ce que l'on appelle feuilletage usuellement (d'ailleurs le terme anglais est foliation, et pas sliced), justement d'ailleurs l'article étudie le cas où le feuilletage est trivial, c'est une fibration triviale. Enfin, c'est qu'un point de vocable, ca a pas grande importance.

[Anonyme007]

Bonjour,

Pardon, tu peux me dire pourquoi :

Les sphères de dimension paire, en particulier, ne possède de toute façon aucune métrique de signature , c'est le théorème de la boule chevelue.

Je ne saisis pas bien le lien entre la signature de la métrique et le théorème de la boule chevelue.

[AncMath]

L'existence d'une métrique de signature implique que le fibré tangent à la sphère se scinde en somme directe de deux sous fibrés de rang n-1 et 1. Mais un fibré en droite sur une sphère de dimension plus grande que 2 est trivial car une telle sphère est 1-connexe.

[Anonyme007]

Ah oui c'est vrai, merci beaucoup, et donc, si le fibré en droite est trivial, cela veut dire que tous les sections de ce fibré ne s'annulent en aucun point ( parce qu'elles sont engendrés par un seul vecteurs non nul ), et donc, cela contredit l'affirmation du théorème de la boule chevelue qui précise que tout champs de vecteurs s'annule en point d'une sphère de dimension paire. C'est à dire à dire on trouvera toujours un espace de calvitie dans un petit voisinage sur n'importe quelle sphère de dimension paire.

[AncMath]

si le fibré en droite est trivial, cela veut dire que tous les sections de ce fibré ne s'annulent en aucun point

Non ! La section nulle ne s'annule en aucun point ?

[Anonyme007]

Oui, c'est vrai ! Tout fibré admet une section canonique qui est la section nulle. et comment corriger ce que j'ai dit ?.

[AncMath]

Il suffit de remarquer qu'il existe une section partout non nulle.

[Anonyme007]

Ah oui c'est vrai, merci beaucoup
Je comprends bien maintenant le théorème de la boule chevelue grâce à tes explications.
Merci encore une fois.

[Anonyme007]

Maisi, ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...boule_chevelue
On dit, tout champs de vecteurs sur s'annule en un point. Je ne comprends pas bien ce que tu voulais dire.
edit : D'accord, j'ai compris.

[AncMath]

Tu ne peux pas être sérieux là... La négation de toute section s'annule quelque part, c'est il existe une section partout non nulle.

[Anonyme007]

Oui, voilà, merci.