Algèbre multilinéaire hermitienne

**Anonyme007** · 04/02/2018, 17h16

Bonjour à tous,

Pouvez vous s'il vous plaît, m'expliquer le paragraphe suivant sur les formes hermitiennes ? :
Le voici :

Soit $\text{[math]}$ une forme sesquilinéaire sur $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ un $\text{[math]}$ - espace vectoriel de dimension $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ - linéaire à gauche, et $\text{[math]}$ - anti-linéaire à droite. On dit que $\text{[math]}$ est hermitienne si $\text{[math]}$ , et de plus que $\text{[math]}$ est définie positive si $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ .
Si on pose $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ est une forme $\text{[math]}$ - bilinéaire alternée à valeurs réelles, qui satisfait : $\text{[math]}$ , et on a : $\text{[math]}$
Enfin, $\text{[math]}$ est symétrique. Plus précisément, il y'a ainsi correspondance bi-univoque entre les formes hermitiennes sur $\text{[math]}$ et les formes $\text{[math]}$ - bilinéaires alternées ( à valeurs réelles ) invariantes par $\text{[math]}$ . Par cette correspondance, la positivité de $\text{[math]}$ correspond à $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ .

Alors, voici ce que je n'ai pas compris :

$\text{[math]}$ La correspondance de laquelle parle le paragraphe est : $\text{[math]}$ , non ? Pourquoi $\text{[math]}$ est bi-univoque ?
$\text{[math]}$ Pourquoi par cette correspondance $\text{[math]}$ , la positivité de $\text{[math]}$ correspond à $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ .

Merci infiniment pour votre éclairage.

**minushabens** · 04/02/2018, 17h40

du fait que H est hermitienne tu peux déduire une relation entre Im(H) et Re(H) et donc Im(H) détermine H.

**Anonyme007** · 04/02/2018, 17h50

@minushabens :
Je m'excuse, parce que je viens de trouver la réponse à l'instant à la question numéro $\text{[math]}$ dans l'ouvrage de Claire Voisin : Théorie de Hodge et géométrie algébrique, page : $\text{[math]}$ .
Il me reste la question $\text{[math]}$ . Pouvez vous m'aider la dessus svp ?
Merci d'avance.

**God's Breath** · 04/02/2018, 20h11

Bonjour,

Tout simplement :

$\text{[math]}$

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Anonyme007** · 04/02/2018, 23h17

Bonsoir,
C'est un peu flou à voir :
Alors :
$\text{[math]}$
Pourquoi cela équivaut au fait que : $\text{[math]}$ ?

Je n'ai pas compris.

**God's Breath** · 05/02/2018, 09h59

La forme est hermitienne, H(t,t) est réel.

**Anonyme007** · 05/02/2018, 13h01

Ah oui, c'est vrai. Merci beaucoup.

Donc, puisque $\text{[math]}$ est hermitienne, on a : $\text{[math]}$ , et par conséquent :
$\text{[math]}$
Cordialement.

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