Lemme de Normalisation de Noether

[Anonyme007]

Bonsoir à tous,

En utilisant le lemme de Normalisation de Noether, est ce qu'on peut dire qu'il existe une équivalence de catégories entre la catégorie des - algèbres fini ( ou ce qui revient au meme de l'appeler, la catégorie des - module de type fini ) et la catégorie des revêtement ramifié over l'espace affine .
Si la réponse est négative, est ce que cela signifie simplement qu'il existe un foncteur ( i.e : le foncteur : ) ) qui envoie l'injection canonique : vers ( ou induit ) le morphisme : qui soit un revêtement ramifié et que n'est pas une équivalence ou isomorphisme de Catégories ? est ce que c'est ça ?

Merci d'avance.
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[invite5357f325]

Tu n'as pas besoin du lemme de Noether pour ça. Le lemme de Noether te dit juste (en terme géométrique) que si X est affine et de dimension n, alors il existe un revêtement ramifié .

Mais même sans ça, la correspondance usuel (i.e celle qui est au chapitre 1 du Hartshorne) devrait être suffisante pour établir ton équivalence de catégorie (attention aux morphismes).

[Anonyme007]

Bonsoir petrifie :

Je n'ai pas trouvé le résultat dont tu parles dans le Chapitre 1 du Hartshorn que je viens de consulter il y'a un instant :

J'ai simplement trouver un corollaire à la page qui affirme que : est une équivalence de catégories entre la catégorie des variétés affines over et la catégorie des - algèbres finis intègres over .
est le foncteur qui associe à toute variété affine sur son anneau de coordonnées.
Si c'est le résultat qu'il faut utiliser, est ce qu'il y'a moyen de dire qu'il existe une équivalence de catégories entre la catégorie des variétés affines over et la catégorie des revêtements ramifiés over pour finalement conclure ?

Merci infiniment pour ton éclairage.

[invite5357f325]

Quels sont les morphismes dans la catégorie des revêtements ramifés de l'espace affine de dimension d ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Je ne sais pas. Franchement.
Ne sont-ils pas les morphismes d'une sous ''full'' catégorie de la catégorie des variétés affines over tout simplement. C'est à dire que les morphismes de la catégorie des variétés affines over sont exactement les morphismes de la sous ''full'' catégorie des revêtements ramifiés over ? non ?.

[invite5357f325]

Comment sont définis les morphismes de revêtements (topologiques) ?

[Anonyme007]

Soient et deux revêtements topologiques ayant meme base .
Un morphisme de revêtements topologiques de sur est une application telle que le diagramme suivant commute : .

[invite5357f325]

Ok. C'est la même définition pour les morphismes de revêtements ramifiés. Maintenant tu as une définition valide, et grâce à l'équivalence de Hartshorne tu peux trouver une catégorie équivalente constituée des k-algèbres tel que ... avec morphismes ... (tu peux compléter). Comme tu as remarqué tu n'as pas besoin du lemme de Noether. Ce que te dit ce lemme c'est que toute variété peut-être vue comme un revêtement ramifié, mais cette représentation n'est pas unique et les morphismes ne respectent pas cette structure en général.

[Anonyme007]

Ok. C'est la même définition pour les morphismes de revêtements ramifiés. Maintenant tu as une définition valide, et grâce à l'équivalence de Hartshorne tu peux trouver une catégorie équivalente constituée des k-algèbres tel que ... avec morphismes ... (tu peux compléter). Comme tu as remarqué tu n'as pas besoin du lemme de Noether. Ce que te dit ce lemme c'est que toute variété peut-être vue comme un revêtement ramifié, mais cette représentation n'est pas unique et les morphismes ne respectent pas cette structure en général.

... grâce à l'équivalence de Hartshorne il y'a une catégorie équivalente constituée des -algèbres finis intègre avec morphismes les morphismes d'algèbres finis intègres.
Merci.

[Anonyme007]

Bonjour pétrifie :
Si tu m'entends, est ce que tu peux libérer un peu d'espace dans ta boite de messages privés pour que je puisse t'en envoyer un ?
Merci.