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f tend vers l en + inf et dérivée vers 0 contre-exemple

  1. #1
    LeTaTanier

    f tend vers l en + inf et dérivée vers 0 contre-exemple

    Bonjour,

    On a l’habitufe de penser que si une fonction f dérivable tend vers une limite finie en +inf, alors sa dérivée tend nécessairement vers 0 en +inf.

    Pouvez-vous m’aidez à trouver un contre-exemple à ceci.

    Merci d’avance.

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    God's Breath

    Re : f tend vers l en + inf et dérivée vers 0 contre-exemple

    Bonjour,

    Tout simplement :
    Dernière modification par God's Breath ; 28/02/2018 à 13h50. Motif: correction du LaTeX
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    LeTaTanier

    Re : f tend vers l en + inf et dérivée vers 0 contre-exemple

    Bonjour,

    Comment démontrer alors que f: x -> sin(x^3)/(x^2+1) admet une limite finie.

    J'ai réussi à minorée sin(x^3) et majorée x^2+1 seulement la fonction sera minorée par 1 donc on ne pourra rien dire par comparaison. De même, par suites extraites.
    Je ne vois pas comment démontrer rigoureusement qu'elle admet une limite finie l.

    Merci à vous.

  5. #4
    Tryss2

    Re : f tend vers l en + inf et dérivée vers 0 contre-exemple

    Comme ceci :



    Donc la fonction tend vers 0

  6. #5
    LeTaTanier

    Re : f tend vers l en + inf et dérivée vers 0 contre-exemple

    Effectivement je n'avais pas penser à cela. Merci.

    Sa fonction dérivé est : f' : x -> (-2 x sin(x³) + 3x² (x² + 1) cos(x³)) / (x² + 1)²

    Je pourrais démonter qu'elle n'admet pas de limite avec des suites extraites, seulement je ne trouve pas de suite qui permette de le faire
    Ou alors, en prenant la valeur absolue et en essayant de trouver vers quoi elle tend Au final je trouve qu'en valeur absolue, elle tend vers 3. Est-ce suffisant comme démonstration rigoureuse pour démontrer que sa limite est différente de 0 en +inf ?

  7. #6
    LeTaTanier

    Re : f tend vers l en + inf et dérivée vers 0 contre-exemple

    En fait je viens de démontrer qu'elle est comprise en -3 et 3.

  8. #7
    God's Breath

    Re : f tend vers l en + inf et dérivée vers 0 contre-exemple

    [QUOTE=God's Breath;6102821]Bonjour,

    Par exemple, en dérivant un produit et non un quotient (c'est 9 fois sur 10 plus pratique…):



    et en utilisant les suites :


    on obtient :

    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  9. #8
    LeTaTanier

    Re : f tend vers l en + inf et dérivée vers 0 contre-exemple

    Merci beaucoup de votre aide.

    Cordialement.

  10. #9
    ansset

    Re : f tend vers l en + inf et dérivée vers 0 contre-exemple

    On peut faire d'avantage la dérivée
    ( pas définie en 0 mais qu'importe )
    ( après simplification )
    le premier terme tend vers 0
    le second diverge vers +l'inf ou -l'inf avec des cycles de plus en plus rapides ( à l'instar de l'exemple de GodBreath)
    Dernière modification par ansset ; 04/03/2018 à 23h33.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  11. #10
    ansset

    Re : f tend vers l en + inf et dérivée vers 0 contre-exemple

    erreur de signe évident sur le deuxième terme, désolé . ( mais cela ne change rien sur le fond )
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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