f tend vers l en + inf et dérivée vers 0 contre-exemple

[LeTaTanier]

Bonjour,

On a l’habitufe de penser que si une fonction f dérivable tend vers une limite finie en +inf, alors sa dérivée tend nécessairement vers 0 en +inf.

Pouvez-vous m’aidez à trouver un contre-exemple à ceci.

Merci d’avance.
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[God's Breath]

Bonjour,

Tout simplement :

[LeTaTanier]

Bonjour,

Comment démontrer alors que f: x -> sin(x^3)/(x^2+1) admet une limite finie.

J'ai réussi à minorée sin(x^3) et majorée x^2+1 seulement la fonction sera minorée par 1 donc on ne pourra rien dire par comparaison. De même, par suites extraites.
Je ne vois pas comment démontrer rigoureusement qu'elle admet une limite finie l.

Merci à vous.

[Tryss2]

Comme ceci :



Donc la fonction tend vers 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[LeTaTanier]

Effectivement je n'avais pas penser à cela. Merci.

Sa fonction dérivé est : f' : x -> (-2 x sin(x³) + 3x² (x² + 1) cos(x³)) / (x² + 1)²

Je pourrais démonter qu'elle n'admet pas de limite avec des suites extraites, seulement je ne trouve pas de suite qui permette de le faire
Ou alors, en prenant la valeur absolue et en essayant de trouver vers quoi elle tend Au final je trouve qu'en valeur absolue, elle tend vers 3. Est-ce suffisant comme démonstration rigoureuse pour démontrer que sa limite est différente de 0 en +inf ?

[LeTaTanier]

En fait je viens de démontrer qu'elle est comprise en -3 et 3.

[God's Breath]

[QUOTE=God's Breath;6102821]Bonjour,

Par exemple, en dérivant un produit et non un quotient (c'est 9 fois sur 10 plus pratique…):



et en utilisant les suites :


on obtient :

[LeTaTanier]

Merci beaucoup de votre aide.

Cordialement.

[ansset]

On peut faire d'avantage la dérivée
( pas définie en 0 mais qu'importe )
( après simplification )
le premier terme tend vers 0
le second diverge vers +l'inf ou -l'inf avec des cycles de plus en plus rapides ( à l'instar de l'exemple de GodBreath)

[ansset]

erreur de signe évident sur le deuxième terme, désolé . ( mais cela ne change rien sur le fond )